Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z

[scwec]

Рассматривается уравнение $(x^2+x)(y^3+y)=z^3+z$.
Предлагается найти его 1-параметрическое решение в целых числах $x,y,z$.

[scwec]

Ответ получается с помощью стандартных инструментов для эллиптических кривых.
$x=-(N^2+2)(N^4+1)(N^6+2N^4+N^2+1)$
$y=N$
$z=(N^2+2)(N^2+1)(N^4+1)N$,
где $N$ - целый параметр
Интересно что имеются нетривиальные 1-параметрические решения в целых числах и для других уравнений из этой серии
$(x^2+x)+(y^3+y)=z^3+z$,
$(x^2-x)(y^3-y)=z^3-z$
Предлагается найти эти решения.

[scwec]

Обобщающий вариант для исходного уравнения.
Докажите, что для любого натурального $N$ найдутся такие натуральные $x,y$, что
$\dfrac{y^3+y}{x^2+x}=N$.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1521591 писал(а):

Докажите, что для любого натурального $N$ найдутся такие натуральные $x,y$, что
$\dfrac{y^3+y}{x^2+x}=N$.

Симпатично. Можно поискать решение в многочленах от $N$ небольшой степени (иногда такой фокус проходит).

[worm2]

Численное компьютерное моделирование ведь никто не запрещал?
$y = N(N^2+2)$
$x=N^4+3N^2+1$

[nnosipov]

Ну, такой скромный ответ нельзя не обнаружить.

[scwec]

Ответ worm2 верный, согласен и с замечаниями nnosipov.
Все предыдущие уравнения также имеют решения в натуральных числах. Этим они и симпатичны.
Повышая степень $y$ до $4$, докажите, что уравнение $\dfrac{y^4+y}{x^2+x}=N$ при любом натуральном $N$
имеет решения в положительных рациональных числах $x,y$.

[scwec]

Компактный ответ здесь: $(x,y)=(1,1)$ для $N=1$,
и для $N>1$
$x=\dfrac{2(N + 1)}{(N - 1)^2}$
$y=\dfrac{N + 1}{N - 1}$
Технологическое решение - приведение уравнения $(y^4+y)=N(x^2+x)$ к Вейерштрассовой форме в новых переменных $u,w$
(формулы перехода может дать Maple) $w^2=u^3-N^3{u}+N^3$.
У этого уравнения есть очевидные рациональные решения $(-N,\pm{N^2})$
Решение $(u,w)=(-N,N^2)$ при переходе от $u,w$ к $x,y$ соответствует
$x=\dfrac{2(N + 1)}{(N - 1)^2}$
$y=\dfrac{N + 1}{N - 1}$

[scwec]

Ещё о решении уравнений в натуральных числах.
Докажите, что уравнение $y^2=x^3+(4N^4+4N-1)x+1$
при любом натуральном $N$ имеет решение в натуральных числах $x,y$.

[Dendr]

Параметризуется, конечно, легко, с первой же догадки ($x=aN^2+bN+c\rightarrow a^3+4a$ - полный квадрат только при $a=2$), после чего короткий перебор значений свободного члена дает два парных представления $x=2N^2\pm1$.

Эмпирически (то есть по результатам подбора решений при разных $N$) найдена еще одна симпатичная параметризация: $(4N^3+1)^2-4N^2$. Соответственно, $y=64N^9+48N^6-24N^5+12N^3-6N^2+2N+1$

Вероятно, таких семейств много (бесконечно много), потому что при $N=1$ также годятся значения $x$ 15 и 640.

[scwec]

Параметризации Dendr верные.
Трактовка. Здесь имеется множество эллиптических кривых, зависящих от натурального параметра $N$.
Из целых точек $P=(2N^2+1,-4N^3-2N-1)$ и $Q=(2N^2-1,4N^3-2N+1)$ (первая параметризация Dendr)
на исходных эллиптических кривых, стандартным вычислением $P+Q$ в Pari, получаем на каждой кривой
$P+Q=(16N^6+8N^3-4N^2+1, 64N^9+48N^6-24N^5+12N^3-6N^2+2N+1)$ - вторая параметризация .
Таких целых параметризаций конечное число, это следует из теоремы Морделла о конечности целых точек на эллиптических кривых.
В пределах возможности вычислений, других параметризаций $x,y$, пригодных для всех натуральных $N$, не существует

[nnosipov]

scwec в сообщении #1522971 писал(а):

Таких целых параметризаций конечное число, это следует из теоремы Морделла о конечности целых точек на эллиптических кривых.

Тоже хотел бы это отметить. Однако предъявление полного списка таких параметризаций (с доказательством полноты) не кажется очевидным.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1523019 писал(а):

Однако предъявление полного списка таких параметризаций (с доказательством полноты) не кажется очевидным.

Обратившись к Magma, для $N=2,3,4,5$, например, не имеется других подходящих значений $x,y$, кроме как из полученных параметризаций. Строго говоря, это, конечно, не является достаточным доказательством, и с этим надо согласиться.

[scwec]

Происхождение предыдущего уравнения $y^2=x^3+(4N^4+4N-1)x+1\qquad(1)$, а также парного ему уравнения $y^2=x^3+(4N^4+4N+1)x-1\qquad(2)$ следующее:
Рассмотрим уравнение $u^2+u+w^4+w=v^4+v\qquad(3)$.
Полагая $w=N$ и приводя $(3)$ к Вейерштрассову виду получаем уравнение $(1)$,
полагая $v=N$ и приводя $(3)$ к Вейерштрассову виду получаем уравнение $(2)$.
Уравнение $(2)$ как и уравнение $(1)$ имеет решение в натуральных числах, а именно
$x=16N^6+8N^3+4N^2+1, y=64N^9+48N^6+24N^5+12N^3+6N^2+2N+1$,
однако, решений типа $x=2N^2\pm{1}$ (как в уравнении $(1)$), у него нет. И вышеуказанная параметризация - единственная для уравнения $(2)$, хотя для отдельных $N$ имеются другие решения в натуральных $x,y$, например, $(N=1,x=1,y=3),(N=1,x=2,y=5),(N=4,x=5,y=73)$.
А для $N=2,3,6,7$, например, натуральных решений, кроме получаемых из вышеуказанной параметризации, не имеется.