Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+

[HateThisProblem]

Необходимо доказать, что для группы всех рациональных чисел по сложению невозможно построить изоморфизм с прямым произведением её двух подгрупп.
Рассмотрим любой элемент $\dfrac{a}{b}$ из какой-то подгруппы $H$ и элемент $\dfrac{c}{d}$ из некой подгруппы $G$.
Т.к. $H$-подгруппа, в ней будет содержаться $\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+...+\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab}{b}$
Т.е. $a \in H$. Более того, $a+a+...+a=ac \in H$. Аналогично с элементом $c \in G$.
Получаем, что $H \cap G$ нетривиально.
Дальше зашел в тупик. Знаю о критерии существования изоморфизма между группой и прямым произведением двух подгрупп:
$G,H$ подгруппы группы $F$ с групповой операцией $\circ$.
Если:
1)$\forall f \in F \ f=g \circ h$
2)$H \cap G $ тривиально.
3)$\forall g \in G \ \forall h \in H \ g \circ h=h \circ g$
Тогда $F \simeq G \times H$
Однако не уверен, что его тут можно применить, так как обратное, исходя из критерия, не следует.

[mihaild]

Вы получили, что $(ac, -ac) =_\mathbb{Q} 0$. Что из этого следует, с учетом определения прямого произведения групп?UPD: бред.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Padawan]

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):

Получаем, что $H \cap G$ нетривиально.
Дальше зашел в тупик.

А в чем проблема? Если бы разлагалась, то было бы тривиально.

-- Вс июн 27, 2021 16:27:37 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):

Однако не уверен, что его тут можно применить, так как обратное, исходя из критерия, не следует.

Вы знаете, что означает слово "критерий"?

[mihaild]

Нужно доказать следующее утверждение: если $F \simeq G \times H$, то в $F$ найдутся пересекающиеся только по нейтральному элементу подгруппы, изоморфные $G$ и $H$.

[HateThisProblem]

Padawan в сообщении #1524497 писал(а):

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):

Получаем, что $H \cap G$ нетривиально.
Дальше зашел в тупик.

А в чем проблема? Если бы разлагалась, то было бы тривиально.

-- Вс июн 27, 2021 16:27:37 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):

Однако не уверен, что его тут можно применить, так как обратное, исходя из критерия, не следует.

Вы знаете, что означает слово "критерий"?

Знаю, а проблема в том, что из $F \simeq G \times H$ не следует, что $H \cap G $ тривиально.

[Padawan]

HateThisProblem в сообщении #1524513 писал(а):

Знаю, а проблема в том, что из $F \simeq G \times H$ не следует, что $H \cap G $ тривиально.

Ещё раз прочитайте критерий.

-- Вс июн 27, 2021 18:14:10 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):

2)$H \cap G $ тривиально.

[HateThisProblem]

Padawan в сообщении #1524519 писал(а):

HateThisProblem в сообщении #1524513 писал(а):

Знаю, а проблема в том, что из $F \simeq G \times H$ не следует, что $H \cap G $ тривиально.

Ещё раз прочитайте критерий.

-- Вс июн 27, 2021 18:14:10 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):

2)$H \cap G $ тривиально.

Но разве отсутствие нетривиальных подгрупп, имеющих тривиальное пересечение, не будет говорить лишь о том, что такой критерий нельзя применить? Существуют ведь другие, не требующие нетривиальность пересечения.

[Padawan]

Ничего не понимаю. Есть теорема. Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$... У Вас задача доказать, что группа $(\mathbb Q,+)$ неизоморфна произведению своих двух подгрупп. Вы показываете, что для любых двух (ненулевых) подгрупп $G,H\subset \mathbb Q$ выполнено $G\cap H\neq 0$. Вывод: группа $\mathbb Q$ неизоморфна произведению своих двух (нетривиальных) подгрупп. Что Вас смущает?

[HateThisProblem]

Padawan в сообщении #1524533 писал(а):

Ничего не понимаю. Есть теорема. Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$... У Вас задача доказать, что группа $(\mathbb Q,+)$ неизоморфна произведению своих двух подгрупп. Вы показываете, что для любых двух (ненулевых) подгрупп $G,H\subset \mathbb Q$ выполнено $G\cap H\neq 0$. Вывод: группа $\mathbb Q$ неизоморфна произведению своих двух (нетривиальных) подгрупп. Что Вас смущает?

Так нет же, теорема говорит о том, что если мы нашли две подгруппы, удовлетворяющие 3-м условиям, в том числе $H\cap G=\{e\}$, тогда их прямое произведение изоморфно группе. Теорема не говорит, что только такие подгруппы дадут изоморфизм.

[Padawan]

HateThisProblem в сообщении #1524535 писал(а):

Теорема не говорит, что только такие подгруппы дадут изоморфизм.

Говорит. В этом и есть смысл слова "критерий". Тогда и только тогда, когда. Необходимо и достаточно.

-- Вс июн 27, 2021 19:04:02 --

Через "ттт" я сокращаю "тогда и только тогда, когда"

[mihaild]

Тут какая-то путаница. Теоремы

Padawan в сообщении #1524533 писал(а):

Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$.

быть не может, т.к. например группа $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ изоморфна прямому произведению своих подгрупп - первого $\mathbb Z_2$ и еще раз первого $\mathbb Z_2$, которые пересекаются.
HateThisProblem, сформулируете полностью утверждение, на которое ссылаетесь?

[HateThisProblem]

Padawan в сообщении #1524538 писал(а):

HateThisProblem в сообщении #1524535 писал(а):

Теорема не говорит, что только такие подгруппы дадут изоморфизм.

Говорит. В этом и есть смысл слова "критерий". Тогда и только тогда, когда. Необходимо и достаточно.

-- Вс июн 27, 2021 19:04:02 --

Через "ттт" я сокращаю "тогда и только тогда, когда"

В таком случае, каюсь, значение слова критерий, как оказалось сейчас, не знал.
То, что я привел в начале, это следствие теоремы (в которой второе условие заменено на единственность такого представления).

[Padawan]

mihaild
Черт. Вы правы. В теореме ещё требуется, чтобы изоморфизм задавался равенством $(a,b)\mapsto ab$. Но это же требуется и в определении того, что значит, что группа раскладывается в прямое произведение своих подгрупп.