2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение26.06.2021, 22:58 


23/04/20
10
Необходимо доказать, что для группы всех рациональных чисел по сложению невозможно построить изоморфизм с прямым произведением её двух подгрупп.
Рассмотрим любой элемент $\dfrac{a}{b}$ из какой-то подгруппы $H$ и элемент $\dfrac{c}{d}$ из некой подгруппы $G$.
Т.к. $H$-подгруппа, в ней будет содержаться $\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+...+\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab}{b}$
Т.е. $a \in H$. Более того, $a+a+...+a=ac \in H$. Аналогично с элементом $c \in G$.
Получаем, что $H \cap G$ нетривиально.
Дальше зашел в тупик. Знаю о критерии существования изоморфизма между группой и прямым произведением двух подгрупп:
$G,H$ подгруппы группы $F$ с групповой операцией $\circ$.
Если:
1)$\forall f \in F \ f=g \circ h$
2)$H \cap G $ тривиально.
3)$\forall g \in G \ \forall h \in H \  g \circ h=h \circ g$
Тогда $F \simeq G \times H$
Однако не уверен, что его тут можно применить, так как обратное, исходя из критерия, не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение26.06.2021, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5084
Москва
Вы получили, что $(ac, -ac) =_\mathbb{Q} 0$. Что из этого следует, с учетом определения прямого произведения групп?UPD: бред.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.06.2021, 23:29 
Модератор


20/03/14
11468
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.06.2021, 14:14 
Модератор


20/03/14
11468
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 14:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):
Получаем, что $H \cap G$ нетривиально.
Дальше зашел в тупик.

А в чем проблема? Если бы разлагалась, то было бы тривиально.

-- Вс июн 27, 2021 16:27:37 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):
Однако не уверен, что его тут можно применить, так как обратное, исходя из критерия, не следует.

Вы знаете, что означает слово "критерий"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5084
Москва
Нужно доказать следующее утверждение: если $F \simeq G \times H$, то в $F$ найдутся пересекающиеся только по нейтральному элементу подгруппы, изоморфные $G$ и $H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 15:49 


23/04/20
10
Padawan в сообщении #1524497 писал(а):
HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):
Получаем, что $H \cap G$ нетривиально.
Дальше зашел в тупик.

А в чем проблема? Если бы разлагалась, то было бы тривиально.

-- Вс июн 27, 2021 16:27:37 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):
Однако не уверен, что его тут можно применить, так как обратное, исходя из критерия, не следует.

Вы знаете, что означает слово "критерий"?

Знаю, а проблема в том, что из $F \simeq G \times H$ не следует, что $H \cap G $ тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 16:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
HateThisProblem в сообщении #1524513 писал(а):
Знаю, а проблема в том, что из $F \simeq G \times H$ не следует, что $H \cap G $ тривиально.

Ещё раз прочитайте критерий.

-- Вс июн 27, 2021 18:14:10 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):
2)$H \cap G $ тривиально.

:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 16:30 


23/04/20
10
Padawan в сообщении #1524519 писал(а):
HateThisProblem в сообщении #1524513 писал(а):
Знаю, а проблема в том, что из $F \simeq G \times H$ не следует, что $H \cap G $ тривиально.

Ещё раз прочитайте критерий.

-- Вс июн 27, 2021 18:14:10 --

HateThisProblem в сообщении #1524424 писал(а):
2)$H \cap G $ тривиально.

:roll:

Но разве отсутствие нетривиальных подгрупп, имеющих тривиальное пересечение, не будет говорить лишь о том, что такой критерий нельзя применить? Существуют ведь другие, не требующие нетривиальность пересечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 16:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
Ничего не понимаю. Есть теорема. Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$... У Вас задача доказать, что группа $(\mathbb Q,+)$ неизоморфна произведению своих двух подгрупп. Вы показываете, что для любых двух (ненулевых) подгрупп $G,H\subset \mathbb Q$ выполнено $G\cap H\neq 0$. Вывод: группа $\mathbb Q$ неизоморфна произведению своих двух (нетривиальных) подгрупп. Что Вас смущает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 16:47 


23/04/20
10
Padawan в сообщении #1524533 писал(а):
Ничего не понимаю. Есть теорема. Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$... У Вас задача доказать, что группа $(\mathbb Q,+)$ неизоморфна произведению своих двух подгрупп. Вы показываете, что для любых двух (ненулевых) подгрупп $G,H\subset \mathbb Q$ выполнено $G\cap H\neq 0$. Вывод: группа $\mathbb Q$ неизоморфна произведению своих двух (нетривиальных) подгрупп. Что Вас смущает?

Так нет же, теорема говорит о том, что если мы нашли две подгруппы, удовлетворяющие 3-м условиям, в том числе $H\cap G=\{e\}$, тогда их прямое произведение изоморфно группе. Теорема не говорит, что только такие подгруппы дадут изоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 17:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
HateThisProblem в сообщении #1524535 писал(а):
Теорема не говорит, что только такие подгруппы дадут изоморфизм.

Говорит. В этом и есть смысл слова "критерий". Тогда и только тогда, когда. Необходимо и достаточно.

-- Вс июн 27, 2021 19:04:02 --

Через "ттт" я сокращаю "тогда и только тогда, когда"

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5084
Москва
Тут какая-то путаница. Теоремы
Padawan в сообщении #1524533 писал(а):
Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$.
быть не может, т.к. например группа $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ изоморфна прямому произведению своих подгрупп - первого $\mathbb Z_2$ и еще раз первого $\mathbb Z_2$, которые пересекаются.
HateThisProblem, сформулируете полностью утверждение, на которое ссылаетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 17:08 


23/04/20
10
Padawan в сообщении #1524538 писал(а):
HateThisProblem в сообщении #1524535 писал(а):
Теорема не говорит, что только такие подгруппы дадут изоморфизм.

Говорит. В этом и есть смысл слова "критерий". Тогда и только тогда, когда. Необходимо и достаточно.

-- Вс июн 27, 2021 19:04:02 --

Через "ттт" я сокращаю "тогда и только тогда, когда"

В таком случае, каюсь, значение слова критерий, как оказалось сейчас, не знал.
То, что я привел в начале, это следствие теоремы (в которой второе условие заменено на единственность такого представления).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+
Сообщение27.06.2021, 17:11 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
mihaild
Черт. Вы правы. В теореме ещё требуется, чтобы изоморфизм задавался равенством $(a,b)\mapsto ab$. Но это же требуется и в определении того, что значит, что группа раскладывается в прямое произведение своих подгрупп.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group