Что Вас потрясло в математике?

[Mihr]

Anton_Peplov в сообщении #1524400 писал(а):

Действительные числа - это максимальное упорядоченное поле

По-моему, это спор беспредметный. А множества натуральных и целых чисел вместе с арифметическими операциями на них - это даже не поля. Ну, и?..

[Dmitriy40]

Да не столь принципиально на чём именно останавливается, поразительнее что мы не просто сейчас ничего лучше не придумали, а что ничего лучше нельзя придумать в принципе, ни завтра, ни через год, ни через 100 лет. Никто же не знает куда уйдёт научная мысль через 100 лет, однако мы уже сейчас доказали что вот туда она точно не уйдёт, и вот туда, и туда тоже. Как бы ни пытались, вот не уйдёт. Что можно доказать невозможность любых будущих придумок — вот это поражает. Мы не знаем что придумают в будущем, но знаем что придумать не смогут при всём желании. Вроде и банально (как например что никогда не придумают рациональное число равное $\sqrt{2}$), но меня поразило. Поразила возможность такого жёсткого ограничения фантазии всех будущих математиков.

[Anton_Peplov]

Mihr в сообщении #1524401 писал(а):

По-моему, это спор беспредметный.

Нет никакого спора. По-моему, Dmitriy40 имел в виду вполне конкретную теорему. Это теорема о том, что $\mathbb R$ есть максимальное упорядоченное поле. Я просто поправил фактическую ошибку.

[Mihr]

Dmitriy40 в сообщении #1524402 писал(а):

ничего лучше нельзя придумать в принципе

Это недоказуемое утверждение. Потому что непонятно, что здесь вообще значит "лучше". Что, например, лучше: поле комплексных чисел или тело кватернионов? Я не знаю. И не вижу, по каким критериям один объект здесь может быть "лучше" другого.

-- 26.06.2021, 19:16 --

Anton_Peplov в сообщении #1524403 писал(а):

Это теорема о том, что $\mathbb R$ есть максимальное упорядоченное поле.

А мне кажется, он говорил о другой теореме: о том, что поле комплексных чисел нерасширяемо. И в этом случае ошибки нет.

[пианист]

Эх, раз уж пошла такая пьянка.. Вспомнилась теорема Островского: как он тогда, в 1916 году, до неё додумался?

[Anton_Peplov]

Думаю, Dmitriy40 имел в виду под "лучше" что-то вроде "сохранить имеющиеся удобные свойства и добавить новые". Так, $\mathbb R$ сохраняет удобные свойства рациональных чисел, но оно ещё и включает корни уравнений, которые в $\mathbb Q$ не имеют решения. С $\mathbb C$ так не получается: корни неразрешимых уравнений получаем, но теряем хорошее свойство - сравнимость.

[Dmitriy40]

Mihr в сообщении #1524404 писал(а):

Это недоказуемое утверждение. Потому что непонятно, что здесь вообще значит "лучше".

Если непонятно что значит лучше, то я зря употребил это слово. Имел в виду что нельзя дополнить/расширить понятие с сохранением всех важных свойств. Почему упорядоченность не считается важной, а другие считаются, объяснить не могу.

Mihr в сообщении #1524404 писал(а):

А мне кажется, он говорил о другой теореме: о том, что поле комплексных чисел нерасширяемо.

Да, видимо именно про эту. Хотя и понятия не имею что это за теорема.

Anton_Peplov в сообщении #1524406 писал(а):

Думаю, Dmitriy40 имел в виду под "лучше" что-то вроде "сохранить имеющиеся удобные свойства и добавить новые".

Скорее не добавить, а разрешить проблемы предыдущих понятий (отсутствие корней многочленов, к примеру, или деление двух целых чисел). Если при этом добавятся новые, то это бонус.
Но я не могу объяснить что важно, а что нет, и почему. Настолько мои знания не распространяются.

[Mihr]

Dmitriy40, ситуацию уже прокомментировал VAL. По-моему, добавить здесь нечего.

[Rasool]

Профессор Снэйп в сообщении #427890 писал(а):

Вроде Гаусс про кого-то из своих учеников говорил, что на математику ему не хватило воображения и он подался в поэты. Чтож, подписываюсь под каждым словом Короля... Математика действительно неимоверно красива.

Меня потрясли в математике не столько отдельные задачи или способы их решения, сколько теоретические глубины, которые открываются при изучении теории множеств, математической логики, обшей алгебры, Оснований математики. При их исследовании математики столкнулись с глубинными проблемами, которые присущи не только математике, как "царицы наук", как и другим основным законам мира, например, с философскими проблемами.

[Rasool]

Rasool в сообщении #1524954 писал(а):

Меня потрясли в математике не столько отдельные задачи или способы их решения, сколько теоретические глубины, которые открываются при изучении теории множеств, математической логики, обшей алгебры, Оснований математики. При их исследовании математики столкнулись с глубинными проблемами, которые присущи не только математике, как "царицы наук", как и другим основным законам мира, например, с философскими проблемами.

Например, в БСЭ в статье "Номинализм" говорится следующее:

Цитата:

В новое время он переходит преимущественно уже в форме сенсуализма: Т. Гоббс, Дж. Локк и французские материалисты — с одной стороны, Дж. Беркли и Д. Юм — с другой. Именно в этот период закладываются основы той семиотической доктрины, которая характерна для современного Н.: значение абстракции не является контекстно свободным; на абстракции следует смотреть как на «символические фикции» — термины, смысл которых определяется контекстом, а употребление служит своего рода сокращающим приёмом для формулировки вполне осмысленных утверждений о реальных объектах, особенно в тех случаях, когда этих объектов бесконечно много. Удобное для выражения определённых фактов правильное употребление абстракций должно быть обусловлено умением исключать их из любого контекста, доказывая их непротиворечивость разысканием подходящей эмпирической модели (см. Верификация). Идея исключения абстракций стала одной из центральных идей современного математического Н. — особой точки зрения на Основания математики, возникшей в начала 20 в. в Польше (С. Лешневский, Л. Хвистек, Т. Котарбиньский, А. Тарский и др.), США (Н. Гудмен, У. Куайн, Л. Генкин, Р. Мартин) и в др. странах в ответ на известное возрождение платонизма в концепциях множеств теории (См. Множеств теория), в особенности на ничем не ограниченное введение абстракций как сущностей (см. Абстракции принцип), которое ведёт к парадоксам. Математические номиналисты предприняли ряд попыток построить математику без парадоксов, основываясь на идее использования формальных систем (См. Формальная система) (формальных языков), в терминах которых удаётся выразить многие абстракции математики и таким образом исключить их, заменив соответствующей «языковой моделью». Логика, лежащая в основе этих систем, понимается при этом в духе номиналистической традиции: существуют («первично», «сами по себе», вне мышления и речи) только чувственно воспринимаемые индивиды, и только они (их собственные имена (См. Имя) или дескрипции (См. Дескрипция)) могут быть значениями предметных переменных логического языка, образуя истинный «универсум рассуждения» (предметную область) любой научной теории. Поэтому единственной приемлемой с точки зрения Н. логикой является узкое исчисление предикатов (см. Логика предикатов). Номиналистическая программа в известной мере обосновывается теоремой Крейга об устранимости абстрактных терминов из языка любой научной теории (см. Craig W., On axiomatizability wihin a system, «The Journal of Symbolic Logic», 1953, v. 18), однако полная практическая реализация этой программы представляется неосуществимой.

[Droog_Andrey]

Впечатлили методы Рамануджана. Он как-то проинтуичил то, что сейчас изучают в теории L-функций.

[B.A.S.]

Потрясло многое из области анализа. Например, как в дифференциальном и интегральном исчислении придумали такие обозначения, что достаточно сложные по смыслу преобразования превратились в "игру в буковки" (по выражению из какой-то книги). Умножай-дели себе на дифференциалы, как на обычные числа, приписывай знаки интегралов к обеим частям диффура с разделенными переменными и находи первообразные по выученным формулам - во многих случаях можно вообще не задумываться о смысле производимых преобразований, делать их автоматически. Цепное правило производной сложной функции? Да просто произведение дробей, числитель одной равен знаменателю другой, сократи их и всё! И таких примеров там достаточно много. И всякие символические записи, которые означают на самом деле не то, что написано, но при определенных условиях работают так, как будто означают именно то. Например, впечатлило начало доказательства расходимости ряда из величин, обратных простым числам:
\sum_{p \le N}{\frac 1p}=\int_{2-0}^{N+0}\frac{d \pi (x)}{x}=\frac{\pi (x)}{x}|_{2-0}^{N+0}+\int_{2}^{N}\frac{\pi (x)}{x^2}dx=...
Дальше не так интересно, именно первые два перехода. Мы записываем интеграл, который на самом деле не интеграл в обычном смысле, а конечная сумма, под дифференциалом ступенчатая функция (в принципе не дифференцируемая в точках скачков в обычном смысле), и еще к пределам пришлось добавить $-0$ и $+0$, чтобы показать, что крайние точки учитываются, что в обычных интегралах вообще не имеет смысла. И несмотря на это, такую запись можно далее преобразовать как обычный интеграл при интегрировании по частям и получить верный результат! Интуитивно, конечно, понятно, но когда интуиция была хорошим помощником в математике? Тут надо действовать по строгим правилам. Конечно, чтобы производить подобные преобразования, нужно уметь доказать, что они корректны, но это часто остается за кулисами, а на сцене - такие фокусы - поразительно, что в математике можно вытворять такое.
Или еще в вариационном исчислении так называемая простейшая задача - например, дана область, по которой можно передвигаться, но скорость меняется от точки к точке по определенному закону, нужно найти скорейший путь из точки А в точку В. Это не просто найти неизвестное число из уравнения, например точку экстремума функции. Тут нужно найти неизвестную линию! Это по логике должно быть бесконечно сложнее, ведь точек бесконечно много и в каждой можно выбирать направление дальнейшего движения! Как такое вообще решать??? И всё же это вполне возможно, причем решается с помощью примерно тех же соображений, что и экстремумы обычных функций например. Просто мощь анализа.

[RIP]

B.A.S. в сообщении #1526948 писал(а):

$\sum_{p \le N}{\frac 1p}=\int_{2-0}^{N+0}\frac{d \pi (x)}{x}=\frac{\pi (x)}{x}|_{2-0}^{N+0}+\int_{2}^{N}\frac{\pi (x)}{x^2}dx=...$

Это верные равенства, если первый интеграл понимать в смысле Римана–Стилтьеса, а $2-0$ и $N+0$ значит, что рассматривается предел $\displaystyle\lim_{\substack{a\to2-0\\b\to N+0}}\int_{a}^{b}$ (причём если функцию $\pi(x)$ считать непрерывной справа, как обычно, то вместо $N+0$ можно просто $N$ писать).

[kmpl]

Dmitriy40 в сообщении #1524407 писал(а):

Mihr в сообщении #1524404 писал(а):

А мне кажется, он говорил о другой теореме: о том, что поле комплексных чисел нерасширяемо.

Да, видимо именно про эту. Хотя и понятия не имею что это за теорема.

Можно сразу теорему Фробениуса вспомнить (Всякая конечномерная алгебра с делением над $\mathbb{R}$ изоморфна либо $\mathbb{R}$, либо $\mathbb{C}$, либо $\mathbb{H}$.)

[B.A.S.]

RIP в сообщении #1527075 писал(а):

B.A.S. в сообщении #1526948 писал(а):

$\sum_{p \le N}{\frac 1p}=\int_{2-0}^{N+0}\frac{d \pi (x)}{x}=\frac{\pi (x)}{x}|_{2-0}^{N+0}+\int_{2}^{N}\frac{\pi (x)}{x^2}dx=...$

Это верные равенства, если первый интеграл понимать в смысле Римана–Стилтьеса, а $2-0$ и $N+0$ значит, что рассматривается предел $\displaystyle\lim_{\substack{a\to2-0\\b\to N+0}}\int_{a}^{b}$ (причём если функцию $\pi(x)$ считать непрерывной справа, как обычно, то вместо $N+0$ можно просто $N$ писать).

Да, можно понимать так, и тогда ничего особо удивительного тут нет.
Но я описываю впечатления, когда я впервые увидел это рассуждение (около 10 лет назад, когда я учился в вузе, кстати нематематическом - математика для меня лишь хобби). Для знакомого только с обычным интегралом Римана и понимающего, что математика - наука строгая, это выглядит как непозволительная вольность. Можно перейти от первого выражения сразу к третьему (уже с вычисленным первым слагаемым, равным $\pi(N)/N$), доказав их равенство, потому что в третьем интеграл можно уже понимать в обычном смысле Римана (в нем уже нет ничего специфического вроде разрывных функций, стоящих формально под знаком дифференциала, и указывающих на предельный переход $+0$ и $-0$). Но тогда "магия" исчезает. Интересно именно то, что допустима запись именно в виде второго выражения и переход от него к третьему по сути автоматически.
Что же касается $N+0$, то бывает, что значение $\pi(x)$ в точках разрыва определяется как среднее арифметическое левого и правого пределов (так бывает нужно, например, при применении интегральных преобразований), и тогда такое обозначение необходимо.