2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 ... 60  След.
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение28.12.2019, 17:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Farest2 в сообщении #1432428 писал(а):
чтобы не мечтать о других простых возможных вариантах (типа A=B), кроме равенства $S_3=S_1^2$.
Но есть вот такой вариант: $S_5+S_7=2S_1^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение28.12.2019, 17:48 


26/04/11
90
nnosipov в сообщении #1432432 писал(а):
Но есть вот такой вариант:

Если позволить использовать суммы, то $4S_1^3=S_3+3S_5$ и $3S_2^2=S_3+2S_5$ можно добавить, но это уже (имхо) не так изящно, как исходное равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение28.12.2019, 20:31 


06/02/14
186
Farest2 писал(а):
Достаточно вспомнить
$$S_k\stackrel{\rm def}{=}1^k+2^k+\ldots+n^k=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{n^k}{2}+\ldots,$$
чтобы не мечтать о других простых возможных вариантах (типа A=B), кроме равенства $S_3=S_1^2$.

nnosipov писал(а):
Но есть вот такой вариант: $S_5+S_7=2S_1^4$.

Farest2 писал(а):
Если позволить использовать суммы, то $4S_1^3=S_3+3S_5$ и $3S_2^2=S_3+2S_5$ можно добавить, но это уже (имхо) не так изящно, как исходное равенство.





А вот это уже ответ!Спасибо!Суммы просто необходимо позволить использовать,судя по Вашему первому сообщению.Вот в этом и заключается потрясение.Получается,по-моему,не менее изящно. Мне эти равенства подарила Великая Теорема Ферма.В это волшебное время - канун Нового Года и Рождества,я хотел поделиться этим подарком с Вами: $$(1+2+3\ldots +n)^2=1^3+2^3+3^3\ldots +n^3$$
$$(1+2+3\ldots +n)^3= 3/4(1^5+2^5+3^5\ldots +n^5)+1/4(1^3+2^3+3^3\ldots +n^3) $$$$(1+2+3\ldots +n)^4= 1/2(1^7+2^7+3^7\ldots +n^7)+1/2(1^5+2^5+3^5\ldots +n^5) $$$$(1+2+3\ldots +n)^5= 5/16(1^9+2^9+3^9\ldots +n^9)+10/16(1^7+2^7+3^7\ldots +n^7)+1/16(1^5+2^5+3^5\ldots +n^5) $$$$(1+2+3\ldots +n)^6= 3/16(1^1^1+2^1^1+3^1^1\ldots +n^1^1)+10/16(1^9+2^9+3^9\ldots +n^9)+3/16(1^7+2^7+3^7\ldots +n^7) $$
и т.д.
Похоже и в математике действует золотое правило:хорошая теория должна не только объяснить полученные факты (новое свойство степеней в Великой Теореме Ферма),но и предсказать новые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение07.01.2020, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
$(2S_1)^2 = 4S_3$
$(2S_1)^3 = 6S_5+2S_3$
$(2S_1)^4 = 8S_7+8S_5$
$(2S_1)^5 = 10S_9+20S_7+2S_5$
$(2S_1)^6 = 12S_{11}+40S_9+12S_7$

Первые коэффициенты очевидны, а вот остальные в общем виде вывести непросто :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение07.01.2020, 10:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
И по OEIS плохо как-то ищется, уж в какой форме ни задавал…

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение07.01.2020, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Droog_Andrey в сообщении #1433759 писал(а):
Первые коэффициенты очевидны, а вот остальные в общем виде вывести непросто :)
Вторые тоже несложно заметить: $\displaystyle 2\binom{n}{3}$
arseniiv в сообщении #1433785 писал(а):
И по OEIS плохо как-то ищется
Хм, странно.

-- 07.01.2020, 11:55 --

Ну и следующие коэффициенты такого же типа: $\displaystyle 2\binom{n}{5}$, $\displaystyle 2\binom{n}{7}$, ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение07.01.2020, 14:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
grizzly в сообщении #1433788 писал(а):
Хм, странно.
Агааа! А я искал все коэффициенты скопом: треугольную таблицу выпрямлял и т. п.. Не подумал искать по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение07.01.2020, 20:15 


06/02/14
186
grizzly писал(а):
Ну и следующие коэффициенты такого же типа: $\displaystyle 2\binom{n}{5}$, $\displaystyle 2\binom{n}{7}$, ...

Ну,конечно,правильно:
$(2S_1)^2 = 4S_3$
$(2S_1)^3 = 6S_5+2S_3$
$(2S_1)^4 = 8S_7+8S_5$
$(2S_1)^5 = 10S_9+20S_7+2S_5$
$(2S_1)^6 = 12S_{11}+40S_9+12S_7$
$(2S_1)^7 = 14S_{13}+70S_{11}+42S_9+2S_7$
$(2S_1)^8 = 16S_{15}+112S_{13}+112S_{11}+16S_9$
$(2S_1)^9 = 18S_{17}+168S_{15}+252S_{13}+72S_{11}+2S_9$
$(2S_1)^1^0 = 20S_{19}+240S_{17}+504S_{15}+240S_{13}+20S_{11}$
И это только "десятая доля таких красот и чудес"!Всех - со светлым праздником Рождества!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.03.2020, 01:12 


26/12/18
155
Sicker в сообщении #1390725 писал(а):
А почему про континуум не пишут?

кстати, а что будет (с анализом, скажем), если попытаться заменить наш континуум действительных чисел континуумом Суслина из его известной, неразрешимой в ZFC гипотезы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.03.2020, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1444422 писал(а):
что будет (с анализом, скажем), если попытаться заменить наш континуум действительных чисел континуумом Суслина
Не будет никакого анализа, потому что на континууме Суслина нет арифметических операций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.03.2020, 06:38 


26/12/18
155
наверно нельзя наделить метрикой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.03.2020, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1444428 писал(а):
наверно нельзя наделить метрикой?
Нельзя. Но это не самое важное, обошлись бы и топологией. Но множеству действительных чисел континуум Суслина никак не соответствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение26.06.2021, 17:27 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Добавлю ещё что меня поразило: доказательство что комплексные числа являются таким "последним из могикан", не расширяемы дальше без потери каких-то важных свойств. Т.е. ряд последовательных расширений понятий "натуральные - целые - рациональные - действительные - комплексные" на них и обрывается, дальше его не продолжить. Поразительно даже не что обрывается, а что это смогли доказать, что как-бы не изгалялись, любое расширение или что-то потеряет, или сводится к самим комплексным. Вот так взять и одним махом обрубить всё ещё даже не придуманное ... это сильно, по моему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение26.06.2021, 17:40 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Dmitriy40 в сообщении #1524387 писал(а):
ё что меня поразило: доказательство что комплексные числа являются таким "последним из могикан", не расширяемы дальше без потери каких-то важных свойств.
Так ведь при переходе к комплексным уже теряются важные свойства: упорядоченность, согласованная с операциями.
А другие важные свойства порядка теряются еще раньше.
Так что, все по законам сохранения, как в песенке: "кто-то теряет, кто-то находит". Точнее, в нашем случае, что-то теряем, что-то приобретаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение26.06.2021, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Dmitriy40 в сообщении #1524387 писал(а):
Добавлю ещё что меня поразило: доказательство что комплексные числа являются таким "последним из могикан", не расширяемы дальше без потери каких-то важных свойств. Т.е. ряд последовательных расширений понятий "натуральные - целые - рациональные - действительные - комплексные" на них и обрывается, дальше его не продолжить.
Не на комплексных, а на действительных. Действительные числа - это максимальное упорядоченное поле, то есть в нём выполняются аксиомы поля (см. определение поля в алгебре) и есть отношение сравнения $>$, согласованное с этими операциями привычным образом.
На комплексных же числах нельзя ввести операцию сравнения так, чтобы из $a, b>0$ следовало $ab>0$, и для $z \ne 0$ числа $z$ и $-z$ были разных знаков.

(Доказательство)

Предположим, что такая операция введена. Рассмотрев произвольное $z \in \mathbb C, z \ne 0$, видим, что $z^2 > 0$ (если $z > 0$, то как $zz$, а если $z < 0$, то как $(-z)(-z)$). В частности, $1 = 1^2 > 0$ и $-1 = i^2 > 0$. Т.е. $1$ и $-1$ получаются одного знака. Противоречие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 886 ]  На страницу Пред.  1 ... 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 ... 60  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group