Множества и объекты

[beroal]

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #1522176 писал(а):

Вы смешиваете две совершенно разные вещи: в универе вам все разжуют и в рот положат, вам остается только глотать.

Не в провинциальном постсоветском вузе.

Vladimir Pliassov в сообщении #1522199 писал(а):

Или, может быть, вообще любое подкольцо кольца целых чисел это идеал (и главный)?

Нет. Да и с какой стати? Примеры на поверхности. Кстати, тот факт, что каждый идеал — подкольцо, мне не кажется полезным. Идеал — это частный случай подмодуля.

[Sinoid]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522199 писал(а):

Куратовского-Мостовского я пока оставил,

Вот. Уже лучше!

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1522204 писал(а):

Если вы решили заниматься по лекциям, берите уж полноценный курс, и не "дискретной математики", а алгебры. Вот, например, курс алгебры для первокурсников ПМИ ВШЭ (курса матфака под рукой нет). Там есть даже видео.

тыц

Спасибо!

[vego]

Vladimir Pliassov, не совсем скромный вопрос: Вы читаете на каких-нибудь иностранных языках?

[Vladimir Pliassov]

Если очень нужно -- английский, норвежский.

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1522157 писал(а):

А как же книга Н. Виленкина «Рассказы о множествах»? На мой взгляд, соответствует уровню. Vladimir Pliassov, вы о ней знаете?

Начал ее читать, очень нравится!

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

Как правило, сами множества не являются своими собственными элементами (например, множество всех натуральных чисел не является натуральным числом, множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).

Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов (Виленкин. «Рассказы о множествах» стр.11 http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf)

Мне кажется, что с последним предложением надо разобраться.

Любое множество является своим собственным подмножеством, в этом нет ничего удивительного, если принять -- и лично мне это не трудно принять, -- что любой набор его элементов есть его подмножество, в том числе и самый полный набор, то есть все множество.

Но чтобы оно имело само себя в качестве своего элемента?

Возьмем сначала случай, когда это уж точно исключено.

Назовем примарными элементами множества элементы, которые сами не являются множествами, и непримарными те, которые являются множествами.

Примарным множеством назовем множество, состоящее из примарных элементов, соответственно, непримарным множеством назовем множество множеств.

Примарное множество не может содержать себя в качестве одного из своих элементов, так как является множеством.

Теперь другой случай.

Как я понимаю, допускается, что непримарное множество может быть своим элементом, так как является множеством. Очевидно, именно такое множество имеет в виду автор (в предложении, с которым "надо разобраться").

Но оно мне странно.

Быть одним из своих элементов -- вот что странно. Мне кажется, что здесь какая-то подмена понятий.

Так же как в понятии "брить себя".

Цитата:

Например, одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему
поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует
отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат
он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется
отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу
он должен себя брить. (Виленкин. «Рассказы о множествах», стр.12 http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf)

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую, -- не надо их смешивать, и все встанет на место.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Автор имеет в виду, что интуитивное понятие множества как произвольного набора произвольных элементов вполне допускает множества, являющиеся элементами самих себя. Потому что "а почему нет".
Впрочем, интуиция у всех разная, кому-то такие множества "сразу не нравятся".
В современной математике множества, являющиеся элементами самих себя, "запрещены" (вводится специальная аксиома, говорящая, что они не существуют). Запрещены, в частности, потому, что чреваты парадоксами.

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую, -- не надо их смешивать, и все встанет на место.

А что может запретить нам их смешивать? Вы говорите, что "распадается", я говорю, что "не распадается". Как спорить будете?

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Мне кажется, что здесь какая-то подмена понятий.

Наверное, Вы уже знаете, что в математике нет точного определения множества.
Может быть или интуитивное понимание, что это такое, или аксиомы, описывающие, какие множества точно существуют, а какие точно не существуют. Причём аксиоматические системы предлагаются разные.
Поэтому, строго говоря, нам ничто не может помешать назвать множеством какую угодно сущность, реальную или воображаемую. Никакой подмены понятий не будет.
Помешать может только возникновение какого-нибудь внутреннего противоречия.

[Sinoid]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую, -- не надо их смешивать, и все встанет на место.

Дык, а что запрещает элементу множества обладать двумя свойствами одновременно?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1522342 писал(а):

В современной математике множества, являющиеся элементами самих себя, "запрещены" (вводится специальная аксиома, говорящая, что они не существуют). Запрещены, в частности, потому, что чреваты парадоксами.

Цитата:

Логическая ошибка парадокса объясняется неверным выбором логических посылок (Википедия)

то есть аксиом, которые противоречат друг другу. Мне кажется, что если аксиомы не противоречат друг другу, противоречий в системе быть не может.

Я думаю, что если как следует разобраться, то никакой парадокс не выдержит критики, потому что любой парадокс основан на противоречивых посылках.

Очевидно, имевшая ранее место аксиома, допускающая множества, которые являются элементами самих себя, находилась в противоречии с остальными аксиомами теории (что, впрочем, не исключает того, что она может работать в каком-нибудь другом наборе аксиом)

Mikhail_K в сообщении #1522342 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую, -- не надо их смешивать, и все встанет на место.

А что может запретить нам их смешивать? Вы говорите, что "распадается", я говорю, что "не распадается". Как спорить будете?

Запретить может введение соответствующей аксиомы -- которая и была введена.

Я имею в виду, что "является своим собственным элементом" это то же самое, что "сам себя бреет".

Вообще, я сильно сомневаюсь, что в логике работает принцип "сам себя", во всяком случае, мне гораздо понятнее наличие двух объектов: активного и пассивного, -- чем совмещение этих двух начал в одном объекте.

То, что в жизни кто-то сам себя бреет, это обманчивое впечатление, на самом деле он бреет свою щеку, к которой в этот момент относится как к другому объекту.

Sinoid в сообщении #1522361 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую, -- не надо их смешивать, и все встанет на место.

Дык, а что запрещает элементу множества обладать двумя свойствами одновременно?

Бывает, что свойства противоречат друг другу, и тогда вводится аксиома, запрещающая одно из них.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522373 писал(а):

Очевидно, имевшая ранее место аксиома, допускающая множества, которые являются элементами самих себя, находилась в противоречии с остальными аксиомами теории

Да, так и было.

Vladimir Pliassov в сообщении #1522373 писал(а):

Бывает, что свойства противоречат друг другу

Ну уж свойство "бреет" никак не противоречит свойству "бреется". Это Вы что-то придумываете.

[Vladimir Pliassov]

Я же говорю: в определенном смысле

Vladimir Pliassov в сообщении #1522373 писал(а):

"является своим собственным элементом" это то же самое, что "сам себя бреет".

Вообще, я сильно сомневаюсь, что в логике работает принцип "сам себя"

До сих пор это было у меня только на интуитивном уровне, но теперь я получил мощное подтверждение, во всяком случае, в какой-то области: аксиому отменили!

Так что теперь пройтись по всем апориям, парадоксам и прочему такому и посмотреть, не замешен ли там принцип "сам себя", может быть, они и разъяснятся. Бритье солдата уже разъяснилось, по крайней мере, для меня.

А хорошо, что ее отменили! Не нужно проводить столько бесполезной работы, пытаться понять то, что нельзя понять, как политэкономию социализма. Когда я читал Виленкина о парадоксах в связи с множествами, меня охватывало все большее уныние, а теперь я испытываю большое облегчение.

Заодно и вообще со всеми парадоксами разделался: если где-то парадокс, значит, что-то не так, нечего на него и время терять, разве только для развлечения.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522404 писал(а):

До сих пор это было у меня только на интуитивном уровне, но теперь я получил мощное подтверждение, во всяком случае, в какой-то области: аксиому отменили!

Сделаю уточнение.

В "наивной" теории множеств, фактически, имеется аксиома, аналогичная современной аксиоме выделения, что для любого одноместного предиката $P$ (т.е. условия, которому каждый объект $x$ может удовлетворять или не удовлетворять), существует множество $\{x\,|\,P(x)\}$ тех и только тех объектов, которые этому условию удовлетворяют. В частности, в качестве условия можно взять $x\in x$ или $x\notin x$, что позволяет говорить о множествах, входящих или не входящих в себя в качестве элемента, о множествах таких множеств, о множестве всех множеств и вообще о множестве всех объектов - всё это ведёт к парадоксам и противоречиям.

В современной аксиоматической теории множеств ZFC аксиома выделения другая: для любого множества $M$ и любого одноместного предиката $P$, существует множество $\{x\in M\,|\,P(x)\}$, включающее не все объекты, удовлетворяющие условию $P$, а только те, которые принадлежат <уже построенному ранее> множеству $M$. В качестве условия $P(x)$ по-прежнему можно взять $x\in x$ или $x\notin x$, однако новая аксиома выделения уже не позволяет говорить о "патологических" множествах типа "множество всех множеств", "множество всех объектов", "множество всех множеств, включающих <или не включающих> себя в качестве элемента", и парадоксы не возникают.

Дополнительно к этой аксиоме выделения, чаще всего вводится дополнительная аксиома регулярности, прямо запрещающая множествам быть элементами самих себя. Сама по себе эта аксиома не спасает от противоречий (спасает от них новая аксиома выделения), но упрощает многие рассуждения.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522373 писал(а):

Вообще, я сильно сомневаюсь, что в логике работает принцип "сам себя", во всяком случае, мне гораздо понятнее наличие двух объектов: активного и пассивного, -- чем совмещение этих двух начал в одном объекте.

Ну давайте разложим число $5$ на два начала - активный объект для чисел $x$, где $x<5$, пассивный объект для чисел $x$, где $x>5$ :)

[Vladimir Pliassov]

Я имею в иду не такой случай, а принцип "быть активным по отношении к самому себе", или, что то же самое, "быть пассивным по отношении к самому себе", который мне кажется сомнительным.

То есть я подхожу к этому вопросу не с диалектической, а с метафизической точки зрения, полагая, что

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую,

что когда он бреет "сам себя", то

Vladimir Pliassov в сообщении #1522373 писал(а):

на самом деле он бреет свою щеку, к которой в этот момент относится как к другому объекту.

В жизни получается, что солдат сам себя бреет, но когда мы анализируем это явление логически, то видим, что он распадается на две сущности: активную и пассивную, -- и если мы, тем не менее, пытаемся объединить эти две сущности, то приходим к противоречию -- к парадоксу. Если же перестать пытаться их объединять, то противоречие исчезает.

Я уже в свое время предложил смотреть на элемент, который умножается сам на себя, как на класс, чтобы избежать принципа действия элемента на самого себя -- topic142176.html . (В обсуждении этой темы Вы также приняли участие.)