Простые числа и палиндромы

[Dmitriy40]

Ну почему не удастся ... Я же проверил все 266 вариантов (A=0 кстати допустимо и даёт аж 26 вариантов сочетаний B и C) для каждой пары близнецов прежде чем спрашивать, оказалось первая пара близнецов даёт один простой палиндром, вторая же нет, ни одного не даёт. И на всё ушло минут 20, из которых 12 чисто на счёт по двум близнецам.
А Вас спрашивал чтобы хоть так до Вас дошло что предлагаемые методы и формулы ничем не помогают (т.е. ничем не лучше просто случайного тыканья пальцем в любой палиндром). И пока Вы не нашли закономерность, т.е. не можете сократить перебор в разы, если уж не исключить его совсем указав сразу точную комбинацию, практического смысла в этих всех формулах не заметно.

[kazvadim]

Dmitriy40
Перебор исключить совсем - это ключевые слова. Но мне не удаётся это сделать...

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1514888 писал(а):

Если взять любые числа $A$ и $B$, где запись $B$ заканчивается на $1$, $3$, $7$ или $9$, то всегда можно подобрать такое число $C$, что число $ACB$ будет простым (имеется в виду не произведение, а просто запись подряд). Ясно, что так же можно строить и простые палиндромы. Чем здесь лучше простые близнецы — совершенно не ясно.

Решил ради забавы проверить это утверждение на предложенной выше паре близнецов $1837120\cdot3^{2093}\pm1$ по восьми формулам со вставкой числа в середину.
Вставка одной и трёх цифр (48 и 480 вариантов) простого палиндрома не дали.
Вставка пяти цифр (4800 вариантов) дала 3 простых палиндрома. Можно грубо принять вероятность $3/4800 \approx 0.06\%$. Вероятность просто случайному числу из 4025 цифр оказаться простому примерно $1/\ln(10^{4025}) \approx 0.01\%$, но при учёте нескольких малых делителей она легко возрастает в 6-7 раз и сравнивается с "близнецово-палиндромной".
Время перебора 4800 вариантов составило 4040с, время поиска следующего простого после одного из вариантов простого палиндрома составило 998с (обнаружено на расстоянии 44% от среднего).
Т.е. близнецы и тут ничем особо не лучше простого почти случайного выбора.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1515724 писал(а):

Т.е. близнецы и тут ничем особо не лучше простого почти случайного выбора.

Спасибо! Мы на примере палиндромов посмотрели, что есть закономерность у простых чисел. Вероятность - это разумеется. Предложите путь, что делать, какие числа исследовать?

[vicvolf]

kazvadim в сообщении #1515742 писал(а):

Предложите путь, что делать, какие числа исследовать?

Вы начали тему, вы и предлагайте!

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1515724 писал(а):

по восьми формулам со вставкой числа в середину.

Извините, а какие именно формулы? Вот эти? И куда что вставляется? Мне хочется понять, откуда берётся число $48$.

Dmitriy40 в сообщении #1515724 писал(а):

Вставка пяти цифр (4800 вариантов) дала 3 простых палиндрома. Можно грубо принять вероятность $3/4800 \approx 0.06\%$. Вероятность просто случайному числу из 4025 цифр оказаться простому примерно $1/\ln(10^{4025}) \approx 0.01\%$, но при учёте нескольких малых делителей она легко возрастает в 6-7 раз и сравнивается с "близнецово-палиндромной".

Статистики мало. Я понимаю, что для получения достаточной статистики могут потребоваться многосуточные вычисления (если не многомесячные), и ни в коем случае не предлагаю этим заниматься. Пусть kazvadim этим занимается, если захочет.
И если, например, последняя цифра проверяемого числа — не любая из 10, а только $1$, $3$, $7$ или $9$, то заведомо исключаются делители $2$ и $5$, и вероятность получения простого числа возрастает. Также могут совсем или частично исключаться другие делители.

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1515772 писал(а):

Извините, а какие именно формулы? Вот эти?

Нет, не эти, там несколько цифр вставляются, а я вставлял именно как Вы указали, число в середину. Формулы такие ($p=1837120\cdot3^{2093}-1,q=p+2$, черта над числом означает перестановку цифр в обратном порядке, $X$ вставляемое число):
$ p q X \overline q \overline p$
$ \overline p q X \overline q p$
$ p \overline q X q \overline p$
$ \overline p \overline q X q p$
$ q p X \overline p \overline q$
$ \overline q p X \overline p q$
$ q \overline p X p \overline q$
$ \overline q \overline p X p q$
8 формул, в каждую можно вставить лишь $X\equiv \{1;2\}\pmod{3}$, для одной цифры $X=\{1;2;4;5;7;8\}$ — вот и 6 цифр, всего 48 вариантов.

Это разумеется ничего не доказывает, мне лишь было интересно как быстро (сколько придётся перебрать вариантов) найдутся решения. Ну и грубо прикинуть вероятность, да.

Someone в сообщении #1515772 писал(а):

И если, например, последняя цифра проверяемого числа — не любая из 10, а только $1$, $3$, $7$ или $9$, то заведомо исключаются делители $2$ и $5$, и вероятность получения простого числа возрастает. Также могут совсем или частично исключаться другие делители.

Разумеется, это я и назвал "учёт малых делителей".
Точно считать вероятность нафик не надо, грубой прикидки вполне достаточно, она явно не на порядки отличается. А числа уже достаточно велики чтобы разница в порядке роста проявилась, если бы была.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1515786 писал(а):

8 формул, в каждую можно вставить лишь $X\equiv \{1;2\}\pmod{3}$, для одной цифры $X=\{1;2;4;5;7;8\}$ — вот и 6 цифр, всего 48 вариантов.

Понятно. Значит, заранее исключаются делители $2,3,5$, и вероятность наткнуться на простое числу увеличивается в $2\times\frac 32\times\frac 54=3{,}75$ раза. Кроме того, если у близнецов старшая цифра неудачная, то половина этих формул будет давать заведомо составные числа (случаи, когда старшие цифры у пары близнецов различные, встречаются редко: однозначные — это пары $3,5$ и $5,7$, а другие нужно искать среди чисел вида $3k\cdot 10^n\pm1$, $k\in\{1,2,3\}$, $n\geqslant 1$; в таких случаях неудачных формул будет две штуки).

-- Вт апр 27, 2021 12:21:46 --

kazvadim в сообщении #1515742 писал(а):

Мы на примере палиндромов посмотрели, что есть закономерность у простых чисел.

Какая закономерность? Что, комбинируя разными способами записи простых чисел и добавляя туда ещё произвольные цифры, можно иногда получать другие простые числа? Ну, ввиду

Someone в сообщении #1514888 писал(а):

Если взять любые числа $A$ и $B$, где запись $B$ заканчивается на $1$, $3$, $7$ или $9$, то всегда можно подобрать такое число $C$, что число $ACB$ будет простым (имеется в виду не произведение, а просто запись подряд).

ничего удивительного в этом нет.

(kazvadim)

Вы писали, что Вы физик-экспериментатор. Вам не мешает в работе то, что Вы склонны принимать случайные совпадения за закономерности?

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1515799 писал(а):

Понятно. Значит, заранее исключаются делители $2,3,5$, и вероятность наткнуться на простое числу увеличивается в $2\times\frac 32\times\frac 54=3{,}75$ раза.

Да, потому и считаю отличия 0.06% (а на самом деле менее 0.02%) от 0.01% — "на уровне шума" и статистических флуктуаций.

[kazvadim]

Dmitriy40
Флуктуации! Беспорядок - это мы показываем уровень нашего мышления на примере Теории чисел.
Что-то надо тут делать... проходил шумы по распределению Пуассона - исключил шумовые фотоны с помощью синхронно фазового детектора (да, там была такая же вероятность один к сотни - это наверное природная закономерность), а тут не справляюсь пока.

[kazvadim]

Пока отвлекусь на числа Софи Жермен. Если число СЖ $p$ палиндром и число $2p+1$ тоже палиндром, то до триллиона находятся $18$ таких чисел СЖ.

(191,383),(19391,38783),(38183,76367),(1508051,3016103),(1609061,3218123),(1628261,3256523),(3717173,7434347),(3916193,7832387),(161535161,323070323),(161838161,323676323),(170646071,341292143),(172747271,345494543),(182949281,365898563),(190909091,381818183),(352909253,705818507),(354848453,709696907),(360818063,721636127),(364636463,729272927)...

Наблюдения. В этих числах СЖ:
отсутствуют первые цифры $7,9$;
нечётные цифры меньше $5$, чётные цифры больше или равно $5$.
Любопытно, что среди чисел цепей Каннингема 2-го рода нет (до триллиона) таких чисел-палиндромов...

[Dmitriy40]

A082520

-- 14.05.2021, 10:18 --

kazvadim в сообщении #1518514 писал(а):

до триллиона находятся $18$ таких чисел СЖ.

Это тоже неправда, их 75 штук. И программой на PARI/GP они все получаются за полсекунды. А до квадриллиона ($10^{15}$) их 804шт и все насчитываются за минуту.

-- 14.05.2021, 10:26 --

По ссылке из OEIS от 2006г они есть все до триллиона, плюс есть даже тройки чисел СЖ: A082566.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1518516 писал(а):

По ссылке из OEIS от 2006г они есть все до триллиона, плюс есть даже тройки чисел СЖ: A082566.

Спасибо. Буду учиться работать поиском в OEIS, чтобы не переоткрывать известное. Вместо "до триллиона" мне нужно было написать с 3-х знаков до 9 знака включительно, где их 18 (бес попутал). И мои наблюдения по ссылке есть и даже больше. Извините.

[mathpath]

Не совсем в тему, но где-то рядом:
возьмем простое число 600307
Прибавим слева цифру 3 и получим простое число 3600307
Прибавим еще раз слева цифру 9 и получим простое число 93600307
Продолжив прибавлять слева по одной цифре, каждый раз будем получать простые числа, вплоть до 912733515196363393600307
Аналогично, начав с 99064169, получим 931564692184933513299064169

Можно этот фокус проделывать с другой позицией, например, вставлять цифру между двумя крайними цифрами слева
Например, начав с 6077947, далее 67077947, 627077947 и т.д.
Вплоть до 645309033159037680127077947

[grizzly]

mathpath в сообщении #1522225 писал(а):

Можно этот фокус проделывать с другой позицией

Даже если разрешить всякий раз вставлять цифру (или не более фиксированного числа цифр) на любые позиции, процесс получения новых простых очень быстро закончится :)