Множества и объекты

[Pphantom]

(Оффтоп)

В начале темы кванторы использовались, а потом этот навык куда-то утратился... может, его стоит возобновить?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):

$$a\in A, e\in E, a\ne e\to A\ne E.$$

Это неверно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):

$$a\in A, e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

Это верно, но эту формулу можно сократить, тут есть кое-что лишнее.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):

$$a\in A, e\notin A\to a\ne e.$$

Это верно.

[Vladimir Pliassov]

Исправил, потом получил последние сообщения и увидел, что правильно сделал, что исправил.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):

То есть надо все-таки так:

$$e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

потому что $a\in A, e\in E, a\ne e\not \to A\ne E.$И ещё:

$$a\in A, e\notin A\to a\ne e.$$

Верно.

[Vladimir Pliassov]

Pphantom в сообщении #1521927 писал(а):

(Оффтоп)

В начале темы кванторы использовались, а потом этот навык куда-то утратился... может, его стоит возобновить?

$$\forall e \; \; e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

$$\forall a,e\; \; a\in A, e\notin A\to a\ne e.$$

То есть $a, e$ здесь это не постоянные, а переменные элементы.

[Pphantom]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521935 писал(а):

$$\forall e \; \; e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

А существования такого элемента недостаточно?

[tolstopuz]

Pphantom в сообщении #1521939 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521935 писал(а):

$$\forall e \; \; e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

А существования такого элемента недостаточно?

Тут еще важно, относится квантор к левой части или ко всему.

$$\forall e (e\notin A\wedge e\in E\to A\ne E)$$

$$(\exists e\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E$$

Два других варианта не очень осмысленны.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521935 писал(а):

То есть $a, e$ здесь это не постоянные, а переменные элементы.

Вообще тут $A$ и $E$ - тоже переменные множества. Не доказывать же для каждого конкретного $A$ и $E$ свою теорему.

[Vladimir Pliassov]

Pphantom в сообщении #1521939 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521935 писал(а):

$$\forall e \; \; e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

А существования такого элемента недостаточно?

Достаточно. Тогда в выражении

$$(\exists e \; \; e\notin A, e\in E)\to A\ne E$$

$e$ это постоянный объект?

Вообще, всегда ли в выражении $\exists \, e \; e$ это постоянный объект, то есть всегда ли в этом выражении "$e$" это постоянное обозначение некоторого объекта?

(Постоянное обозначение всегда является индивидуальным именем, именем, закреплённым только за одним объектом.)

Или же может иметься в виду, что "$e$" здесь это его переменное обозначение?

(Соотвеиственно, его общее обозначение -- обозначение, общее для него и для нескольких других объектов.

В таком случае выражение $\exists \,e$ относится к каждому из них. Например: "имеется такой Сидоров, что ..." -- а Сидоровым же много, это недостаточно персональное имя.)

Как я понимаю, в выражении $\forall e\;\; может быть только общим обозначением для нескольких объектов или для одного объекта.

[(Даже если объект $a$ является единственным элементом множества, у него может быть также общее обозначение "$e$", так же как, если у человека нет братьев и сестер, у него все равно есть не только имя, но и фамилия -- которую могли бы носить его братья и сестры, если бы они были.

(Остальные родственники не а счёт.)]

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Что Вы понимаете под "постоянными" и "переменными" объектами, я не очень понимаю. Мне кажется, эта философия только запутывает.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521948 писал(а):

В таком случае выражение $\exists \,e$ относится к каждому из них. Например: "имеется такой Сидоров, что ..." -- а Сидоровым же много, это недостаточно персональное имя.

После квантора $\exists$, равно как и после квантора $\forall$, и не может стоять "достаточно персональное имя". Например, высказывание $\exists 1\in\mathbb{N}:\,1^2=1$ бессмысленно. Если элемент $1$ уже определён, он не может стоять после квантора.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521941 писал(а):

Тут еще важно, относится квантор к левой части или ко всему.

$$\forall e (e\notin A\wedge e\in E\to A\ne E)$$

$$(\exists e\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E$$

Два других варианта не очень осмысленны.

Да, я вижу, что скобки нужны. Я у себя исправил на

$$(\exists e \; \; e\notin A, e\in E)\to A\ne E.$$

Так можно, или обязательно надо:

$$(\exists e\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E?$$

[xagiwo]

Может, рассказать ТСу про связанные/свободные переменные? Или это только запутает?

[Mikhail_K]

xagiwo в сообщении #1521958 писал(а):

Может, рассказать ТСу про связанные/свободные переменные?

Рассказывайте. Это лучше, чем невнятные "постоянные" и "переменные" в невнятных обсуждениях типа того, какие значения может принимать $x$ в формуле $x\in\{x\}$.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1521949 писал(а):

После квантора $\exists$, равно как и после квантора $\forall$, и не может стоять "достаточно персональное имя". Например, высказывание $\exists 1\in\mathbb{N}:\,1^2=1$ бессмысленно. Если элемент $1$ уже определён, он не может стоять после квантора.

Да, в самом деле, если сказано: "имеется единица, квадрат которой равен единице", -- то можно предположить, что имеется также какая-то другая единица, квадрат которой не равен единице.

Значит, $\exists \,e$ означает "среди всевозможных объектов есть объект $e$, который ..."

Mikhail_K в сообщении #1521949 писал(а):

Что Вы понимаете под "постоянными" и "переменными" объектами, я не очень понимаю.

Это по аналогии с переменной величиной.

Переменный объект это, например, переменный вектор, то есть вектор, о котором говорят, что он может "растягиваться" ("сжиматься") и менять направление.

На самом деле, никакой вектор этого не может, каждый вектор такой, какой он есть. Переменный вектор это условное выражение, подразумевающее, что векторы могут заменяться друг на друга.

Так же как переменная величина это условное выражение, подразумевающее, что величины могут заменяться друг на друга.

Выражение "переменная величина $x$ принимает значения $a, b, c$" означает, что вместо $x$ можно подставить одну из величин $a, b, c$.

Выражение "переменный объект $x$ принимает значения $a, b, c$" означает, что вместо $x$ можно подставить один из объектов $a, b, c$.

-- 09.06.2021, 20:48 --

xagiwo в сообщении #1521958 писал(а):

Может, рассказать ТСу про связанные/свободные переменные? Или это только запутает?

Не запутает, рассказывайте!

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521948 писал(а):

Вообще, всегда ли в выражении $\exists \, e \; e$ это постоянный объект, то есть всегда ли в этом выражении "$e$" это постоянное обозначение некоторого объекта?

В выражении $\exists e(\phi)$ ($\phi$ — какая-нибудь логическая формула, например, $e\in A$), $e$ всегда переменная. Синтаксис не разрешает использовать там литерал или выражение.

Кстати, $\exists e(\phi)$ может писаться как $(\exists e)\phi$ или $(\exists e)(\phi)$. А я предпочитаю писать его как $\exists e, \phi$.