Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[Padawan]

Slav-27
Как определяется скалярное произведение форм?

Slav-27 в сообщении #1503089 писал(а):

С одной стороны, несложно доказать, что это не зависит от выбора базиса: построенное таким образом отображение совпадает с композицией $\Lambda^k(V^*)\to\Lambda^kV\to(\Lambda^{d-k}V)^*\to\Lambda^{d-k}(V^*)$, где первое отображение индуцировано изоморфизмом $V^*\to V$, происходящим от скалярного произведения, второе переводит $\xi$ в линейный функционал $\eta\mapsto\mathrm{Vol}(\xi\wedge\eta)$, где $\mathrm{Vol}$ -- заданная скалярным произведением и ориентацией форма объёма, а третье очевидно какое.

По-моему коэффициент $\frac{1}{k!(d-k)!}$ нужен, то есть $\eta\to\frac{1}{k!(d-k)!}\mathrm{Vol}(\xi\wedge\eta)$. Чтобы для разложимого $\xi=\xi_1\wedge\ldots\wedge\xi_k$ получалась форма $(\eta_1,\ldots,\eta_{d-k})\mapsto\mathrm{Vol}(\xi_1,\ldots,\xi_k,\eta_1,\ldots,\eta_{d-k})$. Путаница с коэффициентами этими. Кто как их ставит.

[Slav-27]

Padawan в сообщении #1519064 писал(а):

С этими коэффициентами путаница.

Именно так, ужасная. post1519065.html#p1519065 Но обычно несложно понять, о чём речь.

-- 18.05.2021, 14:44 --

Но когда говорят о дифференциальных формах, а не о тензорах вообще, то, как правило,

Slav-27 в сообщении #1503089 писал(а):

выберем положительно ориентированный ортонормированный базис $e_1,...,e_d$, для последовательности индексов $I=(i_1,...,i_k)$ обозначим $e^I:=e^{i_1}\wedge...\wedge e^{i_k}$

Slav-27 в сообщении #1503089 писал(а):

$\langle e^I,e^I\rangle=\langle e^{i_1}, e^{i_1}\rangle...\langle e^{i_k}, e^{i_k}\rangle$, $\langle e^I,e^J\rangle=0$, если $I$ и $J$ не получаются друг из друга перестановкой.

[Padawan]

Ну вот это четко, геометрично и недвусмыслено.

Slav-27 в сообщении #1503508 писал(а):

$V$ -- ориентированное вещестенное евклидово пространство. Ненулевому разложимому $k$-вектору $\alpha=u_1\wedge...\wedge u_k$ сопоставляем разложимый $(n-k)$-вектор $\star\alpha$ в ортогональном дополнении к линейной оболочке $u_1,...,u_k$, имеющий такой же объём: их ровно два -- берём тот из них, чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно. Этим вкупе с линейностью звёздочка однозначно определяется.

Если $V$ псевдоевклидово, то надо поменять "ненулевому разложимому $k$-вектору" на "разложимому $k$-вектору ненулевого объёма".

Осталось распространить это на формы. Если между формами и поливекторами установим соответстиве простым опусканием-подниманием индексов $A_{i_1\ldots i_p}\to g^{i_1j_1}\ldots g^{i_pj_p}A_{j_1\ldots j_p}$, а поливекторы будем звездить так, как Вы написали (распространим с разложимых на все) то получится общепринятая звездочка Ходжа?

[Slav-27]

Можно считать, что в моей цитате выше $V$ -- это пространство линейных форм на данном евклидовом пространстве.

[Padawan]

Slav-27
Хорошо. Тем не менее, мой вопрос остается. Будет ли одно и то же считать звездочку Ходжа от формы так как Вы геометрически описали ($V$ -- пространство линейных форм), и так, как я написал (используем поднимание и опускание индексов, а звездим поливекторы).

[Slav-27]

Да, если поменять пространство на изометричное, а потом назад, то ничего не поменяется.