Топология, первое знакомство.

[Vladimir Pliassov]

Приступил к знакомству с топологией, и сразу же вопросы.

Цитата:

Пусть $X=\mathbb R$ -- множество всех вещественных чисел, $\Omega$ -- совокупность объединений всевозможных семейств интервалов (интервалом мы называем множество вида $(a; b)$, где, разумеется, $a\in \mathbb R, \; b\in \mathbb R$ .) http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf

Интервалы могут пересекаться, а могут и не пересекаться.

Если они пересекаются, то и с их пересечением как будто все понятно: оно не пусто и является интервалом, -- и с объединением тоже: оно также является интервалом.

Но возьмем два интервала: $(a; b)$ и $(c; d)$, где $a<b<c<d$.

Их пересечение пусто, разве оно является интервалом?

А их объединение разорвано: состоит из двух частей, между которыми расстояние $c-b$ -- разве это интервал?

Или элементы совокупности $\Omega$ не обязаны здесь быть интервалами?

[arseniiv]

Не обязаны.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

Как я понимаю, отдельно взятая точка множества $X=\mathbb R$ не считается элементом совокупности $\Omega$, поскольку не является интервалом и потому не может считаться объединением семейств интервалов?

(Один интервал может считаться объединением семейств интервалов, то есть объединением -- с самим собой --одного семейства интервалов, состоящего из одного интервала.)

[mihaild]

Так. Только не "не может считаться", а "не является". Определения есть, и из них однозначно следует, что одноэлементные множества не принадлежат $\Omega$, никакого произвола тут не остается.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

Объединение семейств интервалов это множество, состоящее из этих семейств.

1.

Семейство состоит из интервалов.

Объединение семейств интервалов это множество интервалов или только множество семейств? Или и то, и то?

2.

Интервал состоит из точек.

Является ли объединение семейств интервалов множеством точек?

[Geen]

mihaild в сообщении #1518695 писал(а):

из них однозначно следует

Vladimir Pliassov в сообщении #1518670 писал(а):

совокупность объединений всевозможных семейств

Вот тут, мне кажется, можно правильно прочитать, только если знать как должно быть.....

Vladimir Pliassov в сообщении #1518699 писал(а):

Объединение семейств интервалов

В определении было так: "объединение семейства интервалов".

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518699 писал(а):

Объединение семейств интервалов это множество, состоящее из этих семейств.

Разумеется, нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1518699 писал(а):

Объединение семейств интервалов это множество интервалов или только множество семейств? Или и то, и то?

Объединение семейств интервалов — это, очевидно, семейство интервалов. А вот объединение семейства интервалов — это какое-то подмножество множества $\mathbb R$.

Должен сказать, что фразу

Vladimir Pliassov в сообщении #1518670 писал(а):

совокупность объединений всевозможных семейств интервалов

правильно расшифровать можно (имеется в виду, что берутся всевозможные семейства интервалов в множестве $\mathbb R$, для каждого семейства находится объединение входящих в него интервалов, и рассматривается совокупность всех множеств, которые можно таким способом получить; объединение пустого семейства является пустым множеством), но для начинающих это надо было бы сформулировать как-то подробнее. К сожалению, это будет гораздо длиннее, а всегда так хочется написать покороче…

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1518703 писал(а):

В определении было так: "объединение семейства интервалов".

Да, в определении на стр.11 http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf стоит:

Цитата:

объединение любого семейства множеств

(То есть интервал это множество, а именно, множество точек, правильно?)

Но в том определении, которое я привел в первоначальном сообщении стоит:

Цитата:

совокупность объединений всевозможных семейств интервалов

-- 16.05.2021, 13:56 --

Someone в сообщении #1518706 писал(а):

Объединение семейств интервалов — это, очевидно, семейство интервалов. А вот объединение семейства интервалов — это какое-то подмножество множества $\mathbb R$.

То есть объединение множеств $A$ и $B$ это множество элементов, каждый из которых принадлежит либо $A$, либо $B$.

Но если элементы объединяемых множеств сами состоят из элементов, то уже эти элементы не являются элементами множества $A\cup B$?

(Объединение семейств интервалов — это семейство интервалов, но не точек, их которых они состоят.)

[Vladimir Pliassov]

Первая аксиома топологической структуры:

Цитата:

(1) объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности $\Omega$, также принадлежит совокупности $\Omega$

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf

Применительно к вещественной прямой под множествами здесь имеются в виду только интервалы (как множества точек)?

Или речь может идти об объединении семейства семейств интервалов -- в результате которого получается семейство интервалов?

Или об объединении семейства семейств семейств интервалов -- в результате которого получается семейство семейств интервалов -- и т.д. ?

Если так, то в результате объединения всех объединений в конце концов получается объединение интервалов

[которое не обязательно является интервалом (оно может быть разорвано на несколько интервалов)]

Правильно?

-- 16.05.2021, 19:56 --

Цитата:

Элементы множества $\Omega$ называются открытыми множествами пространства (X, $\Omega$)

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf

Судя по названию, применительно к вещественной прямой эти элементы не могут быть ничем иным, как только интервалами или объединениями интервалов (то есть, как я сам написал только что,

Vladimir Pliassov в сообщении #1518736 писал(а):

в результате объединения всех объединений в конце концов получается объединение интервалов

[которое не обязательно является интервалом (оно может быть разорвано на несколько интервалов)]

(То есть они не могут быть семействами интервалов -- семейство не может быть открытым множеством.

Или может?)

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Множества совокупности $\Omega$ - это "объединения семейств интервалов".
Например, множеством из совокупности $\Omega$ является множество $(1,2)\cup (3,4)\cup (5,6)$ - потому что оно является объединением семейства интервалов $\{(1,2),\,(3,4),\,(5,6)\}$.
Так вот, мы можем взять семейство множеств, принадлежащих $\Omega$, например такое семейство:
$\{(1,2)\cup (3,4)\cup (5,6),\,(1,5)\cup(7,8),\,(9,10)\}$.
Можно сказать, что это семейство объединений семейств интервалов.
И вот, если мы возьмём объединение этого семейства, то получим множество $(1,5)\cup(5,6)\cup(7,8)\cup(9,10)$. Оно является объединением семейства интервалов - например, такого семейства $\{(1,5),\,(5,6),\,(7,8),\,(9,10)\}$ или такого семейства $\{(1,2),\,(3,4),\,(5,6),\,(1,5),\,(7,8),\,(9,10)\}$ - и поэтому принадлежит совокупности $\Omega$.
На этом примере мы видим, что объединение семейства множеств, принадлежащих $\Omega$, принадлежит $\Omega$. В общем случае это тоже легко доказать.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518736 писал(а):

Применительно к вещественной прямой под множествами здесь имеются в виду только интервалы (как множества точек)?

Интервалы и их объединения.

Вообще тут, возможно, путаница из-за использования вперемешку слов "множество", "семейство", "совокупность" и т.д.
Если формулировать более последовательно, то:
1. У нас есть множество $X = \mathbb R$ - наше будущее топологическое пространство (его элементы - вещественные числа - называются точками).
2. Есть разные подмножества $X$. Например интервал $(0, 1)$ или одноэлементное множество $\{42\}$. Элементы подмножества - те же самые точки.
3. Есть $\Omega$ - множество некоторых подмножеств $X$ ($\Omega$ называется топологией). Элементы $\Omega$ - подмножества $X$.
4. Элементы $\Omega$ - не произвольные подмножества, а объединения каких-то множеств интервалов. Например у нас есть интервалы $(0, 1)$ и $(2, 3)$, и значит их объединение $(0, 1) \cup (2, 3)$ (множество, содержащее числа от $0$ до $1$ и от $2$ до $3$), является элементом $\Omega$.

Есть $X$. Есть множество всех подмножеств $X$ - $P(X)$. И $\Omega$ - подмножество $P(X)$. Можно конечно рассмотреть множество всех подмножеств $P(X)$ - $P(P(X))$ - $\Omega$ будет его элементом - но это не нужно.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518736 писал(а):

Судя по названию, применительно к вещественной прямой эти элементы не могут быть ничем иным, как только интервалами?

Элементы $\Omega$ - это объединения семейств интервалов. Говоря более простым языком, это объединения интервалов. Вот, например, $(1,2)\cup(3,4)\cup(5,6)$ - элемент $\Omega$.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1518742 писал(а):

это объединения интервалов. Вот, например, $(1,2)\cup(3,4)\cup(5,6)$ - элемент $\Omega$.

Да, конечно! Я там исправил (написал, что элемент $\Omega$ не обязательно является интервалом -- он может быть разорван на несколько интервалов).

[Geen]

Важно тут иметь в виду, что семейство интервалов может быть любым, например $(1/n,1)$ - счётное семейство интервалов. Их объединение - интервал $(0,1)$.
А можно взять семейство $(z-1,z)$ для всех целых $z$.
А можно взять все интервалы вида $(a,b)$ где $a$ и $b$ произвольные иррациональные числа (таких интервалов будет континуум).

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1518742 писал(а):

Элементы $\Omega$ - это объединения семейств интервалов.

А, Вы имеете в виду объединение каждого семейства самого по себе, так что получается семейство интервалов?

А то я, было, подумал, что Вы говорите об объединении этих семейств между собой.

Объединение семейств интервалов это семейство интервалов. Но семейство интервалов это еще не объединение интервалов -- пока это семейство не объединено, оно не является элементом топологии $\Omega$.

Если его объединить, то получится объединение его элементов, то есть интервалов, и тогда оно станет элементом $\Omega$.

Правильно?