Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1517456 писал(а):

где $u_{0}$ - реальный коэффициент для данного примориала.

А значит он является функцией как минимум $p_r\#$, или даже просто $p_r$. А вовсе не конкретным числом. И по хорошему это должно быть отражено в его записи, типа $u_0(p_r)$. Иначе он похож не константу, чем явно не является.

Батороев в сообщении #1517456 писал(а):

при этом $p_{s}$ конкретное простое число - максимальное, квадрат которого не превышает $p_{r}\#$, а не плавающая функция, как Вы ее пытаетесь представить

Абсолютно аналогичное возражение, число $p_s$ явно зависит от $p_r$, а значит является некоторой функцией от него. Ровно как функция целой части числа является не просто абы каким числом, а функцией от своего аргумента. Функции же привычно записывать со скобками и аргументами. Это число $99\pi^7$ записывается без скобок так как именно что число, а не функция от другого (в данном случае оно не зависит от $p_r$). Так что это не я пытаюсь что-то там представить, а это Вы сами так определили $p_s$ как зависимость от $p_r$, а любая зависимость (разве что кроме константной) является функцией. Не понимаю почему приходится объяснять такие банальности.
К тому же это просто форма записи, на корректность доказательства никак не влияет, лишь на лёгкость понимания.

Батороев в сообщении #1517456 писал(а):

Часть 2. Ищем нижнюю границу коэффициента.

И нигде здесь не доказано что это именно нижняя граница коэффициента $u_0$. Это во первых. А во вторых, что что она никак не зависит от $p_r$ и например при увеличении $p_r$ она не уменьшается быстрее роста $p_r$.
Грубо говоря вам надо искать (и доказывать!) не минимум $u_0$, а минимум $\varphi_2(p_r\#) \cdot u_0$, что совсем не одно и то же. И именно в этом месте вас запутывает обозначение $u_0$ вместо более правильного $u_0(p_r\#)$. Произведение двух функций, одна из которых возрастающая, совершенно не обязательно имеет минимум при минимуме второй функции. Например минимум $e^x((x-2)^4+1)$ наблюдается при $x\approx1.33\ne 2$.

Кроме того, я привёл пример когда при удалении последнего близнеца ваш $u_0$ увеличивается! И значит вы никогда не сможете по оценке его снизу сказать есть ли там простые близнецы или их нету. Это просто контрпример к вашему доказательству! Уже только поэтому оно неверно.
И если Вы будете продолжать игнорировать эти примеры, обсуждать с Вами станет нечего.

Батороев в сообщении #1517456 писал(а):

Не хотелось отказываться от выведенного значения минимума. Тем более, что в других доказательствах $p_{r}$ в числителе понадобится.

Ну и не отказывайтесь, но тогда выражение верно для вообще всех простых, не только начиная с 7.
Другое дело что не доказано что оно именно минимум, см. выше.

Батороев в сообщении #1517456 писал(а):

Но что интересно, очень напоминает не верхнюю границу, а нижнюю $\pi_{2}(x)>\frac {x}{(\ln x)^2}$ ... по крайней мере, для примориалов.

Если бы это была нижняя граница, то это и было бы доказательство бесконечности простых близнецов, потому что она очевидно не нулевая.
Но вообще эта формула в русской вики как минимум подозрительная, в англовики существенно более правильная.

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1517456 писал(а):

Часть 1. Определяемся с ситуацией.
1.1) Имеется реальное число $\pi_{2}(p_{r}\#)$

чему равно $\pi_{2}(p_{r}\#)$ ? можете написать явную формулу ?
Точное распределение простых близнецов неизвестно и не доказано, а те числа которые известы - получены методом перебора.

[Dmitriy40]

Soul Friend в сообщении #1517690 писал(а):

чему равно $\pi_{2}(p_{r}\#)$ ? можете написать явную формулу ?

Была бы формула не нужно было бы всё "доказательство".

Может сразу и все остальные проблемы тысячелетия решить в пару строк? А что, ТС наверняка может ...

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1517692 писал(а):

:facepalm:
Была бы формула не нужно было бы всё "доказательство".

Я это к тому, что $u_{\min}$ - можно посчитать только для конечного числа $\pi_2(p_r\#)$. А дальше не известно распределение простых близнецов и статистику (вероятность) нечем будет продолжить. А то получится как - "3, 5, 7 простые числа значит и 9 простое"

[Dmitriy40]

Soul Friend
Кажется Вы недостаточно понимаете принцип доказательства бесконечности: вовсе не надо сравнивать с реальными данными $\pi_2()$, надо лишь доказать ненулевую нижнюю границу. Более того, нижнюю границу можно доказывать даже начиная с очень-очень больших чисел, которые прямо проверить вообще невозможно. Но этого и не требуется. Достаточно доказать что это именно нижняя граница и что она не нулевая на бесконечности. Даже не обязательно для всех чисел, достаточно лишь для очень некоторых, но которых точно бесконечно много, так что даже и нижней границей для всех чисел оно не обязано быть. Именно так тут и пытается сделать, доказывать лишь для примориалов простых.
В общем сравнивать с реальными значениями $\pi_2(p_r\#)$ надо несколько в других типах доказательств, тут же достаточно доказать что оно не перестаёт расти с ростом $r>\operatorname{const}$ хотя бы для некоторого бесконечного подмножества простых.

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1517702 писал(а):

В общем сравнивать с реальными значениями $\pi_2(p_r\#)$ надо несколько в других типах доказательств, тут же достаточно доказать что оно не перестаёт расти с ростом $r>\operatorname{const}$ хотя бы для некоторого бесконечного подмножества простых

А разве это не сравнение :

Батороев в сообщении #1516533 писал(а):

увязать соотношением:

$$ \pi_{2}(p_{r}\#)-t=\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{0}\eqno (2)$$

в котором

Dmitriy40 в сообщении #1517702 писал(а):

и что она не нулевая на бесконечности

это я и имею ввиду.

[Dmitriy40]

Soul Friend
Нет, спишем это на некоторую косноязычность автора. Я бы сказал это попытка записать математически что же именно доказываем. Он имел в виду что в соответствующем интервале (от корня примориала до примориала) будет некое количество простых близнецов и его можно вычислить как правую часть этой формулы. Фактически это просто переобозначение (неизвестной) величины слева. Имеет полное право (если не забывать что $u_0$ в данном случае это функция от $p_r\#$ или $p_r$ или $r$, а не просто число). И вычислять её (левую или правую часть) не обязательно, достаточно доказать что она не равна тождественно нулю хотя бы с некоторого пусть даже очень большого $p_r$ хотя бы для некоторого бесконечного подмножества простых.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1517712 писал(а):

Нет, спишем это на некоторую косноязычность автора. Я бы сказал это попытка записать математически что же именно доказываем. Он имел в виду что в соответствующем интервале (от корня примориала до примориала) будет некое количество простых близнецов и его можно вычислить как правую часть этой формулы.

Я действительно косноязычен в математике, но не до такой же степени, чтобы не понять, что никакие ни $\pi_{2}(p_{r}\#)$, ни $u_{0}$ я не высчитываю.
Я лишь констатирую факт (часть 1), что в каждом примориале есть пары, взаимно простые примориалу, т.е. пары, в которых ни одно из чисел не кратно простым до $p_{r}$, есть число пар простых-близнецов $\pi_{2}(p_{r}\#)$ (это реальное число). Второе число меньше первого, т.к. начиная с $7\#$ (в котором $p_{s}>p_{r}$), часть пар, взаимно простых приморалу, становятся кратны простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}$. И фиксирую этот факт при помощи коэффициента $u_{0}$.

В части 2 я наполняю весь диапазон от $p_{r}$ до $p_{s}$ таким количеством простых, какого в реальности НЕ МОЖЕТ БЫТЬ, отчего искусственно завышается количество пар, кратных этим искусственным простым, и соответственно, занижается коэффициент, т.е. определяется ему нижнее ограничение (хотя бы и искусственно выведенное).

-- 10 май 2021 23:34 --

Soul Friend в сообщении #1517690 писал(а):

Точное распределение простых близнецов неизвестно и не доказано, а те числа которые известы - получены методом перебора.

В доказательстве я не использую ни точные числа пар простых-близнецов, ни их распределение. Я лишь говорю о том, что есть пары, в которых оба числа взаимно простые примориалу (т.е. простым до $p_{r}$), и что часть их уменьшится за счет кратности простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}$. До нуля или нет, это вопрос, ответ на который я и ищу во второй части.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1518018 писал(а):

В части 2 я наполняю весь диапазон от $p_{r}$ до $p_{s}$ таким количеством простых, какого в реальности НЕ МОЖЕТ БЫТЬ, отчего искусственно завышается количество пар, кратных этим искусственным простым, и соответственно, занижается коэффициент, т.е. определяется ему нижнее ограничение (хотя бы и искусственно выведенное).

Беда в том что коэффициент меняется, причём в любую сторону, не только при добавлении простых, но и при их передвижке без изменения количества. Так что без учёта этого оценка снизу некорректна.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1518069 писал(а):

Беда в том что коэффициент меняется, причём в любую сторону, не только при добавлении простых, но и при их передвижке без изменения количества. Так что без учёта этого оценка снизу некорректна.

Что такое передвижка? Это, когда простые перемещаются на новое место, освобождая старое.
Что такое полное наполнение? Это образно, предел всех возможных перемещений простых на новые места с дублированием их старых значений.

[Dmitriy40]

Могу и повторить:

Dmitriy40 в сообщении #1516360 писал(а):

Совсем простой мысленный пример.
Возьмём снова очень большое $p_r$.
Выберем любую пару простых близнецов в интервале $(p_s;p_r\#)$ и раздвинем её чуть в стороны чтобы она перестала быть парой (могут даже простыми перестать быть, не суть).
Выберем другую пару соседних простых в интервале $(p_r\#;p_s\#)$ и сдвинем её до интервала в 2 сделав парой взаимно простых с $p_s\#$ (не обязательно простых, просто парой).
$p_r, p_s, p_r\#, p_s\#$ при этом не меняются.
$\varphi_2(p_r\#)$ уменьшается на 1.
$\varphi_2(p_s\#)$ не меняется.
И в итоге $u$ увеличивается! Даже если мы этим разрушили последнюю пару простых близнецов в интервале $(p_s;p_r\#)$! Т.е. при вот таком хитром уменьшении количества простых близнецов в интервале $(p_s;p_r\#)$ величина $u$ наоборот увеличивается! И значит все ваши оценки его снизу для доказательства попросту не имеют смысла.

Этот пример полностью ломает ваше "доказательство". Потому что и при наличии простых близнецов, и при их отсутствии сравнение с нижней границей будет выполняться.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1518159 писал(а):

Этот пример полностью ломает ваше "доказательство". Потому что и при наличии простых близнецов, и при их отсутствии сравнение с нижней границей будет выполняться.

Вы такими приемчиками можете "поломать" любые доказательства. Допустим, считаем, что до тысячи $\frac {1000}{2}$ нечетных чисел; мысленно сдвигаем $999$ на две позиции вверх (вроде бы чуть-чуть) и утверждаем, что формула для нечетных $\frac {n}{2}$ не верна.
НО Я В -ДЦАТЫЙ РАЗ ПОВТОРЯЮ: НЕ СЧИТАЮ Я ФАКТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ПАР ПРОСТЫХ-БЛИЗНЕЦОВ!!!

-- 12 май 2021 01:09 --

Я говорю, что в любом примориале есть пары, взаимно простых примориалу, и что за счет кратности простым в диапазоне от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ их число уменьшится в некоторой пропорции. Я не ищу значение этой пропорции, а лишь определяю нижнюю границу, которой эта пропорция в реале не может достигнуть... да даже и приблизиться.

[Dmitriy40]

Батороев
Ну нашли вы какую-то границу и что дальше то? Где доказательство что в случае отсутствия близнецов величина будет ниже границы, а в случае наличия выше границы, где? Если я привёл пример когда случаю отсутствия пар (любых, не обязательно простых близнецов, хотя доказываете вы именно про них) соответствует большее значение вашего коэффициента.
А насчёт приёмчиков, вы пользуетесь ровно таким же, "наполняя" промежуток простыми числами. Так что не надо тут. И да, бремя доказательства лежит на вас.

[Батороев]

И вообще... Я уже писал однажды, что решал задачу "сам для себя", а не для "мирового сообщества". Так как сам я выяснил для себя вопрос, что простые-близнецы бесконечны, то на этом пожалуй и завершу свое "повествование".
Думаю, в скором или не скором времени появится доказательство какого-нибудь математика из Поднебесной, США, Индии и т.д. Ждите! А если и не появится, ничего страшного - вы не первое поколение, который пережил этот вопрос.

-- 12 май 2021 01:46 --

p.s. Применение функции $\varphi_{2}(n)$ в том виде, котором я описал в данной теме, считаю своим достижением, если конечно, не будет доказано обратное (утверждения, что "еще во времена СССР вывел такую формулу" или "видел где-то в Бухштабе" не принимаются). Поэтому использование этой функции без ссылки на мое имя буду рассматривать, как НЕПРИЛИЧНОЕ.

[vorvalm]

К.Прахар. Распределение простых чисел. 1967 г. стр 37.
Из доказательства теоремы В,Бруна.