ОДЗ в задании с параметром

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517472 писал(а):

При современном развитии печатного дела...

Дело-то не в этом. Вон учебники Колмогорова до сих пор обсуждают.

Собственно, для матшкольников все уже написано. Например: Пратусевич и др. Алгебра и начала математического анализа-10 (2009). Там даются определения корня и кратного корня (корня данной кратности) многочлена, доказываются теоремы о числе корней (как без учета их кратностей, так и с учетом оных). Для спецшкольников, повторяю, проблем в изложении этого материала нет. Речь идет об обычных школьниках.

[lel0lel]

alisa-lebovski
Да, поскольку уравнение $x^{100}=10^{-100}$ имеет 100 решений в поле комплексных чисел. Почему количество решений в вашем примере вдруг должно стать равным единице? Более того, нам даже повезло: $x^{100}=10^{-100}$ имело только два решения в $\mathbb{R}$, а вот $x^{100}=0$ имеет 100, но в данном случае прыжки с решениями -- артефакт выбора поля.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517485 писал(а):

Да, поскольку уравнение $x^{100}=10^{-100}$ имеет 100 решений в поле комплексных чисел.

А причем здесь это уравнение?

[kmpl]

lel0lel в сообщении #1517485 писал(а):

а вот $x^{100}=0$ имеет 100, но в данном случае прыжки с решениями -- артефакт выбора поля.

$x^{100}=0$ имеет 1 корень $x = 0$ кратности 100 над любым полем. Не вижу здесь никаких артефактов выбора поля.

[nnosipov]

kmpl в сообщении #1517489 писал(а):

$x^{100}=0$ имеет 1 корень $x = 0$ кратности 100 над любым полем. Не вижу здесь никаких артефактов выбора поля.

Согласен. Есть же в конце концов определение корня многочлена.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517487 писал(а):

А причем здесь это уравнение?

Этим примером хотелось продемонстрировать, что нет ничего странного в том, что

alisa-lebovski в сообщении #1517482 писал(а):

уравнение $x^{100}=0$ имеет 100 решений?

Если отождествлять понятия решения и нуля функции.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517485 писал(а):

артефакт выбора поля

Эдак всю теорию чисел можно ненароком проигнорировать, ведь поле $\mathbb{Q}$ сильно хуже в этом отношении поля $\mathbb{C}$.

[lel0lel]

kmpl в сообщении #1517489 писал(а):

Не вижу здесь никаких артефактов выбора поля.

Артефакт появляется при предельном переходе в аналогичном уравнении с ненулевой правой частью.
nnosipov
Тогда такой вопрос: можно ли говорить о 100 одинаковых корнях в уравнении $x^{100}=0$? И сколько это уравнение имеет решений?

nnosipov в сообщении #1517492 писал(а):

lel0lel в сообщении #1517485 писал(а):

артефакт выбора поля

Эдак всю теорию чисел можно ненароком проигнорировать, ведь поле $\mathbb{Q}$ сильно хуже в этом отношении поля $\mathbb{C}$.

Не нужно ничего игнорировать. Слово артефакт здесь не было ругательным. Нужно воспринимать его так: если выбрали поле отличное от комплексного, то нечего удивляться, что переходя к пределу по некоторому числовому параметру (не при старшей степени), у нас не обязана быть непрерывность по количеству решений с учётом кратности.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517493 писал(а):

Тогда такой вопрос: можно ли говорить о 100 одинаковых корнях?

А зачем? Уже ведь есть вполне рабочее понятие: кратный корень как корень такой-то кратности. Есть, наконец, определение корня (как элемента поля, такого, что ...). Что такое два одинаковых корня? Или два одинаковых элемента поля? Вводить понятие мультимножества? Опять же: зачем?

[kmpl]

lel0lel в сообщении #1517493 писал(а):

Артефакт появляется при предельном переходе в аналогичном уравнении с ненулевой правой частью.

lel0lel в сообщении #1517493 писал(а):

если выбрали поле отличное от комплексного, то нечего удивляться, что переходя к пределы по некоторому числовому параметру (не при старшей степени), у нас не обязана быть непрерывность по количеству решений

А если задано полиномиальное уравнение над конечным полем? К какому пределу тогда переходим и о какой непрерывности идет речь?

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517494 писал(а):

А зачем? Уже ведь есть вполне рабочее понятие: кратный корень как корень такой-то кратности.

Хорошо пусть будет так, не будем рассматривать множества содержащие одинаковые элементы, хотя проблемы в этом не вижу. Будет не так удобно объяснять детям, что же происходит в результате предельного перехода -- было 100 корней, а стал один кратности сто, но это мелочи. Теперь нужно разобраться с решениями. Сколько их у уравнения $x^{100}=0$? Одно или одно кратности сто?

-- Сб май 08, 2021 14:33:09 --

kmpl в сообщении #1517496 писал(а):

если задано полиномиальное уравнение над конечным полем? К какому пределу тогда переходим и о какой непрерывности идет речь?

К пределу по свободному коэффициенту. Поле рассматриваем комплексное. Речь о непрерывности числа решений уравнения. Она будет только в C.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517497 писал(а):

Одно или одно кратности сто?

По определению --- одно. Если дополнительно попросят указать, какой оно кратности --- добавим "кратности сто". По умолчанию (в школьной алгебре) ответ "одно". Ну, договорились так. И пересмотра этой договоренности я не припоминаю.

Да, еще одно замечание по поводу термина "решение". Если речь идет об уравнении с одним неизвестным, то это синоним термина "корень уравнения". Если же речь идет о решении системы уравнений, то так и говорят, но не говорят "корень системы уравнений". Не знаю, насколько это общепринятая терминология, но мне кажется, что в школьной алгебре это так.

[lel0lel]

Спасибо за ответы. Хоть мне и кажется это весьма неудобным -- запрет на произнесение "100 одинаковых корней", но раз есть договорëнность. По крайней мере мы вроде пришли к выводу (если нет, то поправьте меня), что нули функции $f(x)$, её корни, решения уравнения $f=0$ -- это всё одно и тоже. Но особенно с решениями нужно молчать как рыба про их кратность, пока тебя об этом специально не спросили.

[Brukvalub]

Интересно, а какова кратность корня у уравнения $ sign(x)=0?$

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517499 писал(а):

Но особенно с решениями нужно молчать как рыба про их кратность, пока тебя об этом специально не спросили.

Более чем правильно. Поди-ка объясни, что такое кратность данного решения даже системы алгебраических уравнений. Здесь уже алгебраической геометрией попахивает.