ОДЗ в задании с параметром

[kmpl]

lel0lel в сообщении #1517497 писал(а):

не будем рассматривать множества содержащие одинаковые элементы, хотя проблемы в этом не вижу.

Проблема будет, например, в том, что поле, группа, кольцо, модуль и т.д. - это множества, а не мультимножества. Вот определите Вы поле, как мультимножество. Как-то переопределите понятие операции. А ноль в этом поле будет? И будет ли он единственным?

lel0lel в сообщении #1517497 писал(а):

Поле рассматриваем комплексное.

Понятие корня многочлена и его (корня) кратности могут быть определены для произвольного многочлена над произвольным полем. Зачем ограничиваться $\mathbb{C}$ я не понимаю.

[lel0lel]

kmpl в сообщении #1517504 писал(а):

Проблема будет, например, в том, что поле, группа, кольцо, модуль и т.д. - это множества, а не мультимножества. Вот определите Вы поле, как мультимножество. Как-то переопределите понятие операции.

Зачем переопределять поле, если речь идёт о множестве всех корней (решений), мы не собираемся это рассматривать как элемент исходного поля и алгебраических операций с ним делать не будем, почему в этом самом простом множестве не может быть равных элементов?

kmpl в сообщении #1517504 писал(а):

Понятие корня многочлена и его (корня) кратности могут быть определены для произвольного многочлена над произвольным полем. Зачем ограничиваться $\mathbb{C}$ я не понимаю.

Это сделано для того, чтобы показать, что если число решений бывает 100 (причëм у уравнения бесконечно близкого к рассматриваемому), то нет ничего удивительного в том, что их может быть 100 одинаковых у рассматриваемого. Правда как выяснили такую терминологию (про одинаковость) использовать нежелательно.

[kmpl]

lel0lel в сообщении #1517506 писал(а):

речь идёт о множестве всех корней (решений)

А если уравнений целая система? Стандартно определяют решение системы, как пересечение решений каждого из составляющих эту систему уравнений. А если у нас мультимножества, то взять обычное пересечение не получится, т.к. один и тот же корень разной кратности будут представлять собой 2 разные упорядоченные пары.

[lel0lel]

Здесь тоже не будет проблемы. Вот система $x^2=0$ и $x^3=0$. Множество решений первого -- $\{0_1,0_2\}$, второго -- $\{0_1,0_2,0_3\}$. Индекс обозначает номер кратного корня, можно придумать другую, более привычную нотацию. Теперь можно пересекать.

[xagiwo]

А у системы $\left\{ \begin{array}{rcl} x^3 = 0 \\ x^2 \neq 0 \\ \end{array} \right.$ множество решений $\{0_3\}$?

[lel0lel]

Это странный вопрос. Конечно получим пустое множество. Потому как ноль не является корнем второго, значит в его решении отсутствуют нули со всеми индексами.

Честно говоря, эта тема немного утомила, потому я прекращу дальнейшее обсуждение. Договорённости в этом вопросе мы выяснили, если топикстартëр вернëтся, то поправит решение в соответствии со школьным уставом.

[kotenok gav]

lel0lel в сообщении #1517532 писал(а):

Это странный вопрос. Конечно получим пустое множество.

Но $\{0_1, 0_2, 0_3\}\setminus\{0_1, 0_2\}=\{0_3\}\ne\emptyset$

Как понимаю я: понятие кратности корня определено только для многочленов/алгебраических уравнений. Для них правильнее говорить "корень $0$ кратности $100$" ($x^{100}=0$), а для трансцендентных уравнений - просто "корни $0$ и $1$" (для, скажем, $x^2(e^x-1)(x-1)=0$).

[EUgeneUS]

lel0lel
Какова кратность каждого корня уравнения $f(x)\equiv 0$ ?

[add314]

lel0lel в сообщении #1517532 писал(а):

если топикстартëр вернëтся, то поправит решение в соответствии со школьным уставом

Да никакого школьного устава то и нет. И вопрос я задавал не с точки зрения ЕГЭ и его трактовок, впрочем и отношения я к нему никакого не имею. Я говорил в самом начале, что мы учитываем кратность корней (но как такового строгого определения кратности корней нам не давали, только говорили, что какой степени уравнение -- столько корней оно и имеет), и, честно говоря, о понятии кратности я услышал первый раз в этом топике. Преподаватель наш часто акцентирует внимание на том, что если, допустим, корней у уравнения нет, то нет именно действительных корней оного. Мне сложно дискутировать с господами по поводу правильности или неправильности такого подхода к преподаванию, вам это виднее, думаю.

А что на счёт решения, то если то, что мы получили с Вами вначале, верно, то меня это вполне устраивает.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1517562 писал(а):

Какова кратность каждого корня уравнения $f(x)\equiv 0$ ?

Что-то уравнения не видно (знака равенства нет). Какова кратность каждого корня уравнения $0=0$ --- про это вопрос? Понятие кратности вводится только для корней ненулевых многочленов.

[lel0lel]

kotenok gav в сообщении #1517560 писал(а):

Но $\{0_1, 0_2, 0_3\}\setminus\{0_1, 0_2\}=\{0_3\}\ne\emptyset$

Вы неправильно понимаете индексацию кратных корней (может это и несколько вычурный способ нумерации). $x^2\ne 0$ даёт множество $\{1_{1},\ldots,1_{\infty},2_{1},\ldots,2_{\infty},3_1\ldots\,3_\infty,\ldots\}$. Вот с ним и пересекайте.

kotenok gav в сообщении #1517560 писал(а):

понятие кратности корня определено только для многочленов/алгебраических уравнений.

Это не так, почитайте например любую статью по итерационному поиску кратных корней трансцедентных уравнений. Узнаете, что вблизи таких корней итерационные алгоритмы как правило имеют худшую скорость сходимости (их специально адаптируют для поиска кратных корней). Этих статей тысячи.

EUgeneUS в сообщении #1517562 писал(а):

Какова кратность каждого корня уравнения $f(x)\equiv 0$ ?

Если функция гладкая над полем $\mathbb{C}$, то

lel0lel в сообщении #1517461 писал(а):

корень имеет кратность $n$, если все производные порядка меньшего чем $n$ равны нулю, а $n$-ая не равна нулю. Это работает только для точек, в которых функция бесконечно дифференцируема.

Используя это, я думаю вы легко ответите на свой вопрос. И да, будем считать что там знак равно.

add314 в сообщении #1517569 писал(а):

А что на счёт решения, то если то, что мы получили с Вами вначале, верно, то меня это вполне устраивает.

Я считаю решение правильным, но вот большинство уважаемых участников так не считает и, по-видимому, в школе и на экзамене так тоже не посчитают. Поэтому убираем свои амбиции в сторону и считаем, что на интервале должны быть два различных корня не важно какой кратности. Поэтому в ответ попадут ещё два значения параметра $a$.

[nnosipov]

add314 в сообщении #1517569 писал(а):

Преподаватель наш

А где преподаватель? В школе или в институте? Задание выглядит как типичное задание из ЕГЭ.

[add314]

nnosipov в сообщении #1517572 писал(а):

А где преподаватель?

Преподаватель в школе

[kotenok gav]

lel0lel в сообщении #1517571 писал(а):

$\{1_{1},\ldots,1_{\infty},2_{1},\ldots,2_{\infty},3_1\ldots\,3_\infty,\ldots\}$

Но тогда ж почему это множество в сочетании с $\{0_1, 0_2\}$ не даёт множества всех возможных кратных корней?

[nnosipov]

add314 в сообщении #1517573 писал(а):

Преподаватель в школе

В школьном учебнике что-нибудь про кратность корней написано?