2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16  След.
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.05.2021, 03:53 
Заслуженный участник


20/08/14
7916
Россия, Москва
Совсем простой мысленный пример.
Возьмём снова очень большое $p_r$.
Выберем любую пару простых близнецов в интервале $(p_s;p_r\#)$ и раздвинем её чуть в стороны чтобы она перестала быть парой (могут даже простыми перестать быть, не суть).
Выберем другую пару соседних простых в интервале $(p_r\#;p_s\#)$ и сдвинем её до интервала в 2 сделав парой взаимно простых с $p_s\#$ (не обязательно простых, просто парой).
$p_r, p_s, p_r\#, p_s\#$ при этом не меняются.
$\varphi_2(p_r\#)$ уменьшается на 1.
$\varphi_2(p_s\#)$ не меняется.
И в итоге $u$ увеличивается! Даже если мы этим разрушили последнюю пару простых близнецов в интервале $(p_s;p_r\#)$! Т.е. при вот таком хитром уменьшении количества простых близнецов в интервале $(p_s;p_r\#)$ величина $u$ наоборот увеличивается! И значит все ваши оценки его снизу для доказательства попросту не имеют смысла. Хоть правильные они, хоть ошибочные, без разницы.
А $L_2(p_r\#)$ кстати не меняется. Что есть простые близнецы в интервале, что нет их, получается без разницы. Что тоже убивает ваши потуги.
И это применимо фактически прямо к формуле (1), остальные вплоть до $u$ и (6) являются всего лишь её преобразованиями.
Почему я и говорю, что формула (1) выполняется лишь статистически, вероятностно, без добавления данных о распределении простых между интервалами она ничего сама по себе не доказывает. Как и пусть и не слишком тривиальные её преобразования до (6).

-- 02.05.2021, 04:12 --

И честно говоря уже и мне надоело в очередной раз перечитывать снова кучу текста, ничего кардинально не меняющего. Ну изменили Вы оценку для $u$, ну и что, она же вообще не нужна, нельзя по нему доказать (за исключением случая очень больших $u$, когда все требуемые пары не влезают в $(p_r\#;p_s\#)$, что явно невозможно). И пока Вы не добавите к (1) (а всё остальное Вы получаете из неё банальной арифметикой) очень сложную (потому что она реально сложная) функцию распределения простых и их пар по интервалам, никакие новые варианты "доказательства" дальше (1) можно и не читать, они на 95% будут заведомо неверными. Или даже верными, но при этом не доказывающими исходную посылку про простые близнецы.
Настолько же сомнительные "доказательства" других гипотез можно вообще не читать, там ровно те же ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение03.05.2021, 09:02 


23/01/07
3337
Новосибирск
Dmitriy40 в сообщении #1516358 писал(а):
Изменилась оценка (и может быть обоснование) минимально возможного значения $u$, но мои претензии касаются момента раньше, начиная прямо с формулы (1), которая верна не точно, а лишь приближённо.

Похоже, Вы не смотрели новую версию и продолжаете "цепляться" за формулы с (1) по (5).

Мне же самому очевидно и без них, что если в примориале $p_{r}\#$ на участке от $p_{r}$ до $p_{s}$ количество простых и плотность их распределения увеличиваются, то количество пар простых-близнецов уменьшается. Происходит это за счет увеличения пар, в которых одно число кратно простым из указанного диапазона ("кратные пары"). И если я, максимизировал (хотя и искусственно - за счет допущения (II), согласно которому все нечетные числа в диапазоне от $p_{r}$ до $p_{s}$ - простые) число таких простых, то максимизировал число кратных пар, и соответственно, минимизировал коэффициент $u$, а с ним и число пар простых-близнецов (хотя бы и искусственных).

Но если Вы так сильно "прикипели" к этим формулам, то попробую представить доказательство с их участием... но позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение03.05.2021, 12:18 


23/01/07
3337
Новосибирск
Доказательство бесконечности простых чисел близнецов.

03.05.2021 г.

Обозначения:

$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер числа в ряду простых чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(a_{i}-1)\cdot (a_{i}+1) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(p-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm 1)\pmod p$.


Доказательство:

Используя функцию $\varphi_{2}(p)$ и свойство ее мултипликативности, можно составить функцию для примориала:

$$\varphi_{2}(p_{r}\#) =1\cdot (3-2)\cdot (5-2)\cdot (7-2)\cdot ... \cdot (p_{r}-2) \eqno (1)$$

Функция $\varphi_{2}(p_{r}\#)$ определяет количество пар, взаимно простых с примориалом $p_{r}\#$.

Действительное число пар простых-близнецов в примориале $\pi_{2}(p_{r}\#)$ и функцию $\varphi_{2}(p_{r}\#)$ можно увязать соотношением:
$$ \pi_{2}(p_{r}\#)-t=\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{0}\eqno (2)$$
в котором действительный коэффициент $u_{0}$ показывает, в какой пропорции уменьшится число пар, взаимно простых с примориалом $p_{r}\#$, за счет пар, в которых одно из чисел кратно простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ (пары, кратных простым от $p_{r}$ до $p_{s}$"); $t$ - число пар простых-близнецов до $p_{s}$.
Точный расчет коэффициента $u_{0}$ на практике сопряжен с большими трудностями, связанными с точным подсчетом числа вхождений простых от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ в примориал $p_{r}\#$. Для очень больших примориалов задача практически невыполнимая.
Но за то, можно определить теоретические границы коэффициента $u$:

A. Теоретическая верхняя граница $$u_{\max}=1\eqno (3)$$
Наступает в случае отсутствия простых на интервале от $p_{r}$ до $\sqrt {p_{r}\#}$. Хотя примером такого примориала может служить примориал $5\#$, в котором $\pi_{2}(5\#)-t=\varphi_{2}(5\#)$, но при дальнейшем увеличении примориалов такая ситуация повториться не может (математиками доказаны значительно меньшие интервалы, на которых присутствуют простые числа). Поэтому $u_{\max}=1$ является теоретической верхней границей рассматриваемого коэффициента.

B. Для определения теоретической нижней границы коэффициента $u_{\min}$ введем допущение:
На интервале от $p_{r}$ до $p_{s}$ все нечетные числа - простые числа.

Допущение предполагает равномерность распределения чисел от $p_{r}$ до $p_{s}$, поэтому для случая "B" можно записать:
$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{B}-t = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot p_{r}\#}{p_s\#} \eqno (4)$$
Для наглядности можно развернуть (4):
$\pi_{2}(p_{r}\#)_{B}-t=p_{r}\#\cdot\left(1-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-..-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-p_{r}\#\cdot \left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+..+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \eqno(5) $

В выражении (5) число в первой скобке, домноженное на $p_r\#$, соответствует $\varphi_{2}(p_{r}\#)$, т.е. числу пар, взаимно простых с примориалом.
Число во второй скобке, домноженное на $p_r\#$, соответствует числу пар, в которых хотя бы одно число кратно простым числам от $p_{r+1}$ до $p_{s}$.
Перепишем (4):
$$\pi_{2}(p_r\#)_{B}-t= \varphi_{2}(p_r\#) \cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\eqno (6)$$
Откуда видно, что:
$$u_{B}=\dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_r\#)\cdot p_{s}\#}\eqno (7)$$

После сокращения общих членов в числителе и знаменателе получаем:

$$ u_{B}= \dfrac {p_{r+1}-2}{p_{r+1}}\cdot\dfrac {(p_{r+1}+2)-2}{p_{r+1}+2}... \cdot \dfrac{p_{s}-2}{p_{s}} =\dfrac {p_{r+1}-2}{p_s}=\dfrac {p_{r}}{p_{s}} \eqno (8) $$

(в (8) все числа числителя, кроме первого, сокращаются с числами знаменателя, кроме последнего).

Полученное в (8) значение $u_{\min}=u_{B}$ является нижней теоретической границей рассматриваемого коэффициента. Действительно, в реальности такое распределение простых чисел на интервале от $p_{r}$ до $p_{s}$ не возможно (например, каждое третье число кратно $3$, каждое пятое $5$ и т.д.), поэтому исчезновение любого числа из ряда, описанного в допущении (т.е. приведению к реальности и появлению интервалов, больших $2$) повлечет к уменьшению числа слагаемых в правой скобке (5) (или исчезновению дробей, меньших единицы в (8) ) и соответственно, увеличению коэффициента $u$ по сравнению с $u_{\min}$.

Полученная нижняя теоретическая граница $u_{\min}$ позволяет определить и нижнюю теоретическую границу количества пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$:
$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}-t= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{\min}\eqno (9)$$
С учетом вышесказанного: $$\pi_{2}(p_{r}\#)>\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}\eqno (10)$$
Так как $p_{s}<\sqrt {p_{r}\#}$, то:
$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}-t= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{\sqrt {p_{r}\#}}\eqno (11) $$
Начиная с $p_{r}\#=7\#$, число:
$$p_{r}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{\sqrt {p_{r}\#}}=p_{r}\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac {5-2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac {7-2}{\sqrt {12}}>1\eqno (12)$$
и монотонно возрастает, следовательно, можно записать, что начиная с $p_{r}=7\#$, с учетом неравенств (10)... (12):
$$\pi_{2}(p_{r}\#)-t>1 \eqno (13)$$
Неравенство (13) утверждает, что каким бы ни было количество пар простых-близнецов до $p_{s}$, в примориале $p_{r}\#$ всегда существует, как минимум $1$ пара простых-близнецов, превышающих $p_{s}$. (14)

Т.к. простые числа бесконечны, а соответственно, бесконечны примориалы, то с учетом вывода (14) доказано, что простые-близнецы бесконечны.

*Примечание 1: функция $\varphi_{2}(n)$ всегда дает одно лишнее значение, независимо от числа $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение03.05.2021, 14:21 


31/12/10
1535
Батороев в сообщении #1516533 писал(а):
Но за то, можно определить теоретические границы коэффициента $u$:

Здесь союз зато пишется слитно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение03.05.2021, 14:37 


21/05/16
3939
Аделаида

(Оффтоп)

Как и "простые числа-близнецы" пишется через дефис, и прочая, и прочая. Но ошибок на форуме так много, что исправлять их становится бессмысленно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение03.05.2021, 20:07 
Заслуженный участник


20/08/14
7916
Россия, Москва
Батороев в сообщении #1516524 писал(а):
Похоже, Вы не смотрели новую версию и продолжаете "цепляться" за формулы с (1) по (5).
Я смотрел. И ничего там не меняется. Потому что все формулы дальше выводятся как раз из (1) банальными домножениями/сокращениями/переобозначениями.

Вот от 03.05.2021 и снова всплывает та самая формула (1), только теперь уже под номером (4). И к ней сразу становятся применимы оба моих возражения, и про её "вероятность/статистичность", и про неправильную оценку минимума в (6)-(9). Вы похоже вообще не заметили моих примеров когда удаление простого близнеца повышает $u_B$. Т.е. оценка его снизу вообще ничего не доказывает. И соответственно дальше пункта B с формулой (4) можно и не читать, уже он неверен, минимум $u_0$ не гарантирует отсутствия или наличия близнецов. Всё, доказательство ошибочно.

-- 03.05.2021, 20:11 --

Батороев в сообщении #1516533 писал(а):
Полученное в (8) значение $u_{\min}=u_{B}$ является нижней теоретической границей рассматриваемого коэффициента.
Не доказано. И что нижней, и что её минимальность вообще хоть как-то влияет на количество простых близнецов. Всё дальнейшее "в топку".

-- 03.05.2021, 20:16 --

В принципе, доказательством можно пользоваться для доказательства бесконечности пар взаимно простых с $p_s\#$ (не $p_r\#$!), хотя это вообще самоочевидно из построения $\varphi_2()$, но про простые близнецы ничего оно не доказывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 00:49 
Аватара пользователя


11/06/12
9715
лучший.магия.интрига

(kotenok gav)

kotenok gav в сообщении #1516543 писал(а):
Как и "простые числа-близнецы" пишется через дефис
Думаю, в данном случае должно писаться ещё интереснее: «простые числа — близнецы».

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 06:01 
Аватара пользователя


12/10/16
612
Almaty, Kazakhstan
Батороев в сообщении #1516533 писал(а):
B. Для определения теоретической нижней границы коэффициента $u_{\min}$ введем допущение:
На интервале от $p_{r}$ до $p_{s}$ все нечетные числа - простые числа.

Допущение неверно, в этом интервале составные числа возрастают. Доказательства не строются на заведомо ложном условии, если это не доказательство "от противного".

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 07:18 
Заслуженный участник


20/08/14
7916
Россия, Москва
Soul Friend
Для оценки сверху/снизу можно взять и заведомо ложное утверждение, тогда в реальности функция будет всегда ниже/выше оценки, ничего в этом криминального не вижу. Например чуть выше в пункте А берётся столь же ложное утверждение и получается вполне правомочное ограничение $u(p_r) \le 1$ (что как бы вообще самоочевидно из построения $u(p_r)$ и зачем оно вообще в доказательстве непонятно).
Так что проблема в другом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 09:03 
Заслуженный участник


20/08/14
7916
Россия, Москва
Батороев в сообщении #1516533 писал(а):
$$p_{r}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{\sqrt {p_{r}\#}}=p_{r}\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac {5-2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac {7-2}{\sqrt {12}}>1\eqno (12)$$
Справа от знака равенства не равно тому что слева, справа должно быть так:
$$p_r\cdot \dfrac {\varphi_2(p_r\#)}{\sqrt {p_r\#}}=p_r \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{3-2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{5-2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{7-2}{\sqrt{7}}$$
Кроме того $p_r$ там лишнее:
$$\forall p_r \ge 7: \dfrac {\varphi_2(p_r\#)}{\sqrt {p_r\#}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{3-2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{5-2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{7-2}{\sqrt{7}} \ldots > 1 \eqno(12)$$
Потому что после домножения на $p_r$ оно всегда больше $1$, для вообще всех простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 10:25 
Аватара пользователя


12/10/16
612
Almaty, Kazakhstan
Батороев в сообщении #1516533 писал(а):
A. Теоретическая верхняя граница $$u_{\max}=1\eqno (3)$$
Наступает в случае отсутствия простых на интервале от $p_{r}$ до $\sqrt {p_{r}\#}$.

На самом деле $u_{\max}\geqslant1$ может быть если до $p_r \#$ количество простых близнецов будет превышать количества пар взаимопростых с $p_r\#$.
Ведь у вас $u_0=\frac{\pi_2(p_r\#)-\pi_2(p_s)}{\varphi_2(p_r\#)}$

$u_0=\frac{\pi_2(p_r\#)-\pi_2(precprime(\sqrt{p_r\#}))}{\varphi_2(p_r\#)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 10:48 
Заслуженный участник


20/08/14
7916
Россия, Москва

(Ради интереса переформулирую доказательство короче, с нормальными обозначениями, с нумерацией формул, без лишних сущностей и почти без словесной мути)

Определения.
Везде где не оговорено особо все числа считать простыми и все итерации идут только по простым.
$\pi_2(p)$ — количество простых чисел-близнецов не превышающих $p$.
$p\#=\prod\limits_{x=2}^p x$ — примориал простого числа.
$\varphi_2(2)=1,\;\varphi_2(p>2)=p-2$ — количество взаимно простых с $p$ пар чисел с разницей в 2.
$\varphi_2(p\#)=\prod\limits_{x=2}^p \varphi_2(x)$ — количество взаимно простых с $p\#$ пар чисел с разницей в 2.
$s(2)=1,\;s(p>2)=\lfloor\sqrt{p\#}\rfloor$ — округление вниз производится до ближайшего простого.

Доказательство.
Будем доказывать что для любого $p>3$ выполняется:
$$\pi_2(p\#)-\pi_2(\sqrt{p\#})=L_2(p) \ge 1 \eqno(1)$$
Будем последовательно ограничивать снизу:
$$L_2(p) \ge \varphi_2(p\#) u_{\min}(p) \eqno(2)$$
Для некоторого частного случая распределения пар:
$$u_{\min}(p)=\dfrac{\varphi_2(s(p)\#)}{s(p)} \dfrac{p\#}{\varphi_2(p\#)}=\dfrac{p}{s(p)} \eqno(3)$$
И тут доказательство ломается так как (3) осталось недоказанным для всех возможных распределений взаимно простых с $s(p)\#$ пар по интервалам.

Дальше снова всегда:
$$\dfrac{p}{s(p)}>\dfrac{p}{\sqrt{p\#}} \eqno(4)$$
$$\varphi_2(p\#) \dfrac{p}{\sqrt{p\#}} > 1 \eqno(5)$$
Последнее выполняется для всех $p$. Доказывается по индукции, для $p<5$ проверяем прямым подсчётом, для $p\ge 5$
$$\varphi_2(p\#) \dfrac{p}{\sqrt{p\#}} = p \dfrac{\varphi_2(p\#)}{\sqrt{p\#}}=p \prod\limits_{x=5}^p\dfrac{x-2}{\sqrt{x}} \eqno(6)$$
в произведении все дроби $(x-2)/\sqrt{x}>1$ и значение с увеличением $p$ будет лишь расти.

Итого собираем всё в кучу:
$$\pi_2(p\#)-\pi_2(\sqrt{p\#}) = L_2(p) \ge \varphi_2(p\#) u_{\min}(p) \overset{\big ?}{=} \varphi_2(p\#) \dfrac{p}{s(p)} > p \dfrac{\varphi_2(p\#)}{\sqrt{p\#}}>1$$
$$\forall p>3: \pi_2(p\#)-\pi_2(\sqrt{p\#})>1$$
Осталось доказать (3) и будет счастье. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 11:08 
Аватара пользователя


12/10/16
612
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40
$s(p)=p_s$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.05.2021, 11:56 
Заслуженный участник


20/08/14
7916
Россия, Москва
Soul Friend в сообщении #1516632 писал(а):
Dmitriy40
$s(p)=p_s$ ?
Да. Просто это явно функция от $p$, что я и захотел акцентировать. А то по записи ТС непонятно где функция и от чего зависит, а где константа.

Кстати вполне можно писать $\pi_2(x)$ вместо $\pi_2(\operatorname{precprime}(x))$, они равны для любого действительного $x$.

-- 05.05.2021, 08:44 --

Soul Friend в сообщении #1516624 писал(а):
На самом деле $u_{\max}\geqslant1$ может быть если до $p_r \#$ количество простых близнецов будет превышать количества пар взаимопростых с $p_r\#$.
Так ведь это невозможно для близнецов больше $p_r$, они же все гарантированно взаимно просты с $p_r\#$. А учитывая что для $p_r>5$ выполнено $p_s>p_r$, то близнецы не больше $p_r$ из рассмотрения исключаются и в $u(p_r)$ не входят и $u_{\max}(p_r>5)\le 1$. Фактически это доля всех взаимно простых с $p_r\#$ пар и больших $p_s$, которые являются и простыми близнецами, а доля не может быть больше $1$. Единственная возможность увеличить $u(p_r)>1$ это посчитать и простые близнецы меньше $p_r$, ибо они не будут взаимно просты с $p_r\#$ и в $\varphi_2(p_r\#)$ не войдут, но это возможно лишь если $p_s < p_r$, что возможно лишь для $p_r<5$ и легко проверяется руками и вообще неинтересно.
Но оценка максимума вообще для доказательства не нужна, ни в каком виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение08.05.2021, 11:14 


23/01/07
3337
Новосибирск
Dmitriy40
Судя по тому, как Вы переформулировали доказательство, видно, что опять не до конца поняли ход доказательства, который изменился.
Давайте по ступенькам:
Часть 1. Определяемся с ситуацией.
1.1) Имеется реальное число $\pi_{2}(p_{r}\#)$ в примориале $p_{r}\#$, которое имеется "в природе" (например, часть из значений приведены в OEIS).
1.2) Имеется реальное число пар, взаимно простых примориалу $p_{r}\#$, которое мы теперь умеем считать.
1.3) Мы можем записать, что $$\pi_{2}(p_{r}\#)= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{0}\eqno (1.3)$$, где $u_{0}$ - реальный коэффициент для данного примориала.


Часть 2. Ищем нижнюю границу коэффициента.
2.1) Для нахождения нижней границы вводим указанное допущение, что все нечетные числа от $p_{r}$ до $p_{s}$ - простые числа (при этом $p_{s}$ конкретное простое число - максимальное, квадрат которого не превышает $p_{r}\#$, а не плавающая функция, как Вы ее пытаетесь представить).
2.2) Введенное допущение ПОЗВОЛЯЕТ записать выражение (4) - ИМЕННО ДЛЯ ДОПУЩЕНИЯ, а не отыскания каких-либо других коэффициентов. Из выражения (4) путем арифметических преобразований, имея в виду, что примриал $p_{r}\#$ является частью примориала $p_{s}\#$, а функция $\varphi_{2}(p_{r}\#)$ является частью $\varphi_{2}(p_{s}\#)$, корректно приходим к выражению (8).
2.3) Анализируем полученное выражение (8).
Так как число простых на интервале от $p_{r}$ до $p_{s}$ по сравнению с реальным увеличилось (причем, для больших примориалов многократно), то увеличится и число пар, в которых одно из чисел кратно этим простым. Это приведет к снижению числа "простых пар-близнецов" (в кавычках потому, что относится к искусственной ситуации, описываемой допущением), а соответственно, к занижению коэффициента $u_{B}$ (вычисленного только лишь для ситуации допущения) по сравнению с реальным коэффициентом $u_{0}$.
Для пущей убедительности можно записать: $$u_{B}=u_{0}\cdot u_{m}\eqno (2.3)$$ где $u_{m}=\prod \limits_{p_{r+1}<m<p_{s}}\frac{m-2}{m}$, $m$ - нечетные составные числа в заданном диапазоне.

Так как $u_{m}<1$, то $$u_{B}<u_{0}$$

Далее по тексту.

-- 08 май 2021 15:25 --

Dmitriy40 в сообщении #1516621 писал(а):
Кроме того $p_r$ там лишнее:

Не хотелось отказываться от выведенного значения минимума. Тем более, что в других доказательствах $p_{r}$ в числителе понадобится.

В последнее время захотелось определить нижнюю границу, более близкую к реалу.
Посмотрел немного, что об этом известно в Википедии и увидел следующее:
Цитата:
Норвежский математик Вигго Брун доказал (1919), что $\pi_{2}(x)<<\dfrac {x}{(\ln x)^2}$

(в виде цитаты один к одному перетащить не смог, но повторил точно).
Стал проверять и что-то не сходится, по крайней мере, для примориалов. Наверное, опечатка?
Но что интересно, очень напоминает не верхнюю границу, а нижнюю $\pi_{2}(x)>\frac {x}{(\ln x)^2}$ ... по крайней мере, для примориалов. :?:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 234 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group