Разница между касанием и пересечением

[vzdymshik_picca]

У меня назрел очередной soft question. Тут было обсуждение на аналогичную тему, но там автор сразу ушёл в другую сторону, т.к. у него были проблемы с определением... Интересует "интуитивная формулировка" понятия касательной/касания (для удобства можно оставаться в $\mathbb{R}^2$), опираясь на которую мы уже можем дать строгое математическое определение. Если коряво переформулировать вопрос, то как можно эмпирически воспринимать/ощущать, что есть касание? Для примера вот, что в той теме писал Munin:

Munin в сообщении #913414 писал(а):

Интуитивно, касательная к кривой линии - это такая прямая, что кривая на каком-то малом участке примерно совпадает с этой прямой.

Если сформулировать в духе Лейбница, то можно сказать, что это прямая, проходящая через 2 бесконечно близкие точки и т.д. Отмечу, что я не противопоставляю секущие и касательные, а также понимаю, что можно выкалывать точки, соответствующие оговорки не требуются (то есть понятно, что имеется в виду в заголовке). Если мы говорим о каких-то тривиальных кривых/графиках, то легко можно сформулировать, чего мы хотим от прямой, которую назовем "касательной". А какие аналогичные (эмпирические) соображения можно привести в общем случае?

[arseniiv]

vzdymshik_picca в сообщении #1515912 писал(а):

Интересует "интуитивная формулировка" понятия касательной/касания (для удобства можно оставаться в $\mathbb{R}^2$), опираясь на которую мы уже можем дать строгое математическое определение. Если коряво переформулировать вопрос, то как можно эмпирически воспринимать/ощущать, что есть касание?

«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от». У этого наивного понимания есть проблема с касанием $y = x^3$ и $y = 0$ в нуле, но так по идее это то что нужно.

Ещё можно включить параметричность. Пусть у нас не две кривые, а два семейства кривых, непрерывно зависящих от параметра $t$. Тогда касание — это (в том же смысле как выше, и это ломается тем же примером) это когда (всё локально) по одну сторону от некоторого $t_0$ кривые не пересекаются в интересующей окрестности, а по другую сторону от некоторого $t_0$ кривые пересекаются в двух близких точках. (Или не семейства, а просто кривые можно шевелить. Но критерий по идее усложнится — а вдруг мы шевелим неправильно. Когда заданы семейства, у нас есть только один способ, и если нам не повезло, то таковы были условия задачи, и при них всё верно. А тут у нас нет никаких гарантий, нам надо как-то удостовериться, что мы шевелим самым большим числом способов.)

Или: две кривые касаются в точке, когда они там локально «совпадают» или «почти совпадают» — в зависимости от распущености языка. Если одна из кривых прямая, то вторая «локально как эта прямая».

Локальным свойствам наивное понимание известно: бесконечно малые штучки, бесконечно близкие точки, бесконечно малые окрестности и прочее.

И кстати приведённое вами «лейбницевское» понимание по идее должно быть очень удобным с точки зрения образов и получения результатов без знания определений, в том числе получения изначально самих этих определений.

-- Ср апр 28, 2021 16:39:27 --

arseniiv в сообщении #1515918 писал(а):

«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от».

Я бы даже считал, что из такой идеи понятие исторически на этой планете и выросло.

[Lia]

vzdymshik_picca в сообщении #1515912 писал(а):

У меня назрел очередной soft question. Тут
было обсуждение на аналогичную тему,

А что Вас еще интересует, помимо того, что в той теме? Там вполне приличное обсуждение, вряд ли сейчас состоится более приличное.

fos1 заблокирован за клоноводство.

[vzdymshik_picca]

arseniiv в сообщении #1515918 писал(а):

«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от». У этого наивного понимания есть проблема с касанием $y = x^3$ и $y = 0$ в нуле, но так по идее это то что нужно.

Другой хороший контрпример про $\sin(1/x)$ можно подсмотреть в старой теме. Из-за наличия пересечений в любой окрестности невозможно сказать осталась ли касательная после пересечения с той же стороны или нет.

Lia в сообщении #1515930 писал(а):

А что Вас еще интересует, помимо того, что в той теме? Там вполне приличное обсуждение, вряд ли сейчас состоится более приличное.

Например, какие уточнения можно сделать, чтобы отмести все вычурные случаи (полагая, что для них определяем сухо и без интуиции). Второй момент, что старая тема была сведена к обсуждению тонкостей определения, а именно в том контексте, который я указал, высказался лишь Munin. Третий момент, что уже, например, сообщение arseniiv представляет представляет отдельный интерес вне старой темы (по крайней мере для меня), значит эта не зря создана.

[Lia]

vzdymshik_picca в сообщении #1515932 писал(а):

Второй момент, что старая тема была сведена к обсуждению тонкостей определения, а именно в том контексте, который я указал, высказался лишь Munin.

Там нет тонкостей. Определение одно. Оно формулируется на языке анализа и без труда переводится на человеческий.

vzdymshik_picca в сообщении #1515932 писал(а):

например, сообщение arseniiv представляет представляет отдельный интерес вне старой темы (по крайней мере для меня),

Объясните, пожалуйста, что конкретно там Вас заинтересовало.
Меня заинтересовало ровно одно: зачем усложнять.

[vzdymshik_picca]

Lia в сообщении #1515933 писал(а):

Там нет тонкостей. Определение одно.

Не спорю. Когда я написал, что "у автора были проблемы с определением", то имелось в виду, например, обсуждение про кол-во пересечений касательной и прочего, что у меня заведомо вопросов не вызывает. В этом плане я использовал слово "тонкости".

Lia в сообщении #1515933 писал(а):

Оно формулируется на языке анализа и без труда переводится на человеческий.

Эта тема как раз про "перевод на человеческий". Она, скорее, околоматематическая, что я указал в первом же предложении (и потому поместил в дискуссионные, а не ПРР).

Теперь по сути: тут уже минимум 3 "перевода" представлены («лейбницевский», вариант Munin - линейное приближение, вариант arseniiv). Все эти формулировки приводят к базовому определению, но по духу отличаются. Вариант arseniiv - то, что хочется понимать, от чего обычно отталкиваемся (но можно опровергнуть на примерах), «лейбницевский» - то, что в итоге все равно получается (то есть не опровергается). Меня интересовали другие аналогичные формулировки.

[vzdymshik_picca]

Подытоживая, в том, что касается интуитивного понимания, имеем три неформальных подхода:
1) Эта прямая проходит через бесконечно близкие точки
2) Она является линейной аппроксимацией
3) Касаясь кривой/графика, она при этом не меняет сторону
Видимо, остальные будут им эквивалентны. При этом самый базовый наивный вариант (3) не работает в некоторых случаях (ну или пока не сделан ряд оговорок). Элементарные примеры этого: $y=x$ (тут они совпадают), $y=x\sin(1/x)$ (тут кривая бесконечно колеблется в малой окрестности) или $y=x^3$, $y=\sin(x)$ (имеют т.н. точки перегиба в $0$ и в $\pi$ соответственно) и т.д.

Цитата:

Какие уточнения можно сделать, чтобы отмести вычурные случаи

В добавок к точкам перегиба, можно, например, потребовать изолированный экстремум.