2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разница между касанием и пересечением
Сообщение28.04.2021, 13:59 


15/04/21
22
У меня назрел очередной soft question. Тут было обсуждение на аналогичную тему, но там автор сразу ушёл в другую сторону, т.к. у него были проблемы с определением... Интересует "интуитивная формулировка" понятия касательной/касания (для удобства можно оставаться в $\mathbb{R}^2$), опираясь на которую мы уже можем дать строгое математическое определение. Если коряво переформулировать вопрос, то как можно эмпирически воспринимать/ощущать, что есть касание? Для примера вот, что в той теме писал Munin:
Munin в сообщении #913414 писал(а):
Интуитивно, касательная к кривой линии - это такая прямая, что кривая на каком-то малом участке примерно совпадает с этой прямой.
Если сформулировать в духе Лейбница, то можно сказать, что это прямая, проходящая через 2 бесконечно близкие точки и т.д. Отмечу, что я не противопоставляю секущие и касательные, а также понимаю, что можно выкалывать точки, соответствующие оговорки не требуются (то есть понятно, что имеется в виду в заголовке). Если мы говорим о каких-то тривиальных кривых/графиках, то легко можно сформулировать, чего мы хотим от прямой, которую назовем "касательной". А какие аналогичные (эмпирические) соображения можно привести в общем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между касанием и пересечением
Сообщение28.04.2021, 14:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
vzdymshik_picca в сообщении #1515912 писал(а):
Интересует "интуитивная формулировка" понятия касательной/касания (для удобства можно оставаться в $\mathbb{R}^2$), опираясь на которую мы уже можем дать строгое математическое определение. Если коряво переформулировать вопрос, то как можно эмпирически воспринимать/ощущать, что есть касание?
«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от». У этого наивного понимания есть проблема с касанием $y = x^3$ и $y = 0$ в нуле, но так по идее это то что нужно.

Ещё можно включить параметричность. Пусть у нас не две кривые, а два семейства кривых, непрерывно зависящих от параметра $t$. Тогда касание — это (в том же смысле как выше, и это ломается тем же примером) это когда (всё локально) по одну сторону от некоторого $t_0$ кривые не пересекаются в интересующей окрестности, а по другую сторону от некоторого $t_0$ кривые пересекаются в двух близких точках. (Или не семейства, а просто кривые можно шевелить. Но критерий по идее усложнится — а вдруг мы шевелим неправильно. Когда заданы семейства, у нас есть только один способ, и если нам не повезло, то таковы были условия задачи, и при них всё верно. А тут у нас нет никаких гарантий, нам надо как-то удостовериться, что мы шевелим самым большим числом способов.)

Или: две кривые касаются в точке, когда они там локально «совпадают» или «почти совпадают» — в зависимости от распущености языка. Если одна из кривых прямая, то вторая «локально как эта прямая».

Локальным свойствам наивное понимание известно: бесконечно малые штучки, бесконечно близкие точки, бесконечно малые окрестности и прочее.

И кстати приведённое вами «лейбницевское» понимание по идее должно быть очень удобным с точки зрения образов и получения результатов без знания определений, в том числе получения изначально самих этих определений.

-- Ср апр 28, 2021 16:39:27 --

arseniiv в сообщении #1515918 писал(а):
«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от».
Я бы даже считал, что из такой идеи понятие исторически на этой планете и выросло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между касанием и пересечением
Сообщение28.04.2021, 15:09 


20/03/14
12041
vzdymshik_picca в сообщении #1515912 писал(а):
У меня назрел очередной soft question. Тут
было обсуждение на аналогичную тему,

А что Вас еще интересует, помимо того, что в той теме? Там вполне приличное обсуждение, вряд ли сейчас состоится более приличное.

 !  fos1 заблокирован за клоноводство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между касанием и пересечением
Сообщение28.04.2021, 15:24 


15/04/21
22
arseniiv в сообщении #1515918 писал(а):
«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от». У этого наивного понимания есть проблема с касанием $y = x^3$ и $y = 0$ в нуле, но так по идее это то что нужно.
Другой хороший контрпример про $\sin(1/x)$ можно подсмотреть в старой теме. Из-за наличия пересечений в любой окрестности невозможно сказать осталась ли касательная после пересечения с той же стороны или нет.
Lia в сообщении #1515930 писал(а):
А что Вас еще интересует, помимо того, что в той теме? Там вполне приличное обсуждение, вряд ли сейчас состоится более приличное.
Например, какие уточнения можно сделать, чтобы отмести все вычурные случаи (полагая, что для них определяем сухо и без интуиции). Второй момент, что старая тема была сведена к обсуждению тонкостей определения, а именно в том контексте, который я указал, высказался лишь Munin. Третий момент, что уже, например, сообщение arseniiv представляет представляет отдельный интерес вне старой темы (по крайней мере для меня), значит эта не зря создана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между касанием и пересечением
Сообщение28.04.2021, 15:34 


20/03/14
12041
vzdymshik_picca в сообщении #1515932 писал(а):
Второй момент, что старая тема была сведена к обсуждению тонкостей определения, а именно в том контексте, который я указал, высказался лишь Munin.

Там нет тонкостей. Определение одно. Оно формулируется на языке анализа и без труда переводится на человеческий.
vzdymshik_picca в сообщении #1515932 писал(а):
например, сообщение arseniiv представляет представляет отдельный интерес вне старой темы (по крайней мере для меня),

Объясните, пожалуйста, что конкретно там Вас заинтересовало.
Меня заинтересовало ровно одно: зачем усложнять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между касанием и пересечением
Сообщение28.04.2021, 15:50 


15/04/21
22
Lia в сообщении #1515933 писал(а):
Там нет тонкостей. Определение одно.
Не спорю. Когда я написал, что "у автора были проблемы с определением", то имелось в виду, например, обсуждение про кол-во пересечений касательной и прочего, что у меня заведомо вопросов не вызывает. В этом плане я использовал слово "тонкости".
Lia в сообщении #1515933 писал(а):
Оно формулируется на языке анализа и без труда переводится на человеческий.
Эта тема как раз про "перевод на человеческий". Она, скорее, околоматематическая, что я указал в первом же предложении (и потому поместил в дискуссионные, а не ПРР).

Теперь по сути: тут уже минимум 3 "перевода" представлены («лейбницевский», вариант Munin - линейное приближение, вариант arseniiv). Все эти формулировки приводят к базовому определению, но по духу отличаются. Вариант arseniiv - то, что хочется понимать, от чего обычно отталкиваемся (но можно опровергнуть на примерах), «лейбницевский» - то, что в итоге все равно получается (то есть не опровергается). Меня интересовали другие аналогичные формулировки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между касанием и пересечением
Сообщение30.04.2021, 02:53 


15/04/21
22
Подытоживая, в том, что касается интуитивного понимания, имеем три неформальных подхода:
1) Эта прямая проходит через бесконечно близкие точки
2) Она является линейной аппроксимацией
3) Касаясь кривой/графика, она при этом не меняет сторону
Видимо, остальные будут им эквивалентны. При этом самый базовый наивный вариант (3) не работает в некоторых случаях (ну или пока не сделан ряд оговорок). Элементарные примеры этого: $y=x$ (тут они совпадают), $y=x\sin(1/x)$ (тут кривая бесконечно колеблется в малой окрестности) или $y=x^3$, $y=\sin(x)$ (имеют т.н. точки перегиба в $0$ и в $\pi$ соответственно) и т.д.

Цитата:
Какие уточнения можно сделать, чтобы отмести вычурные случаи
В добавок к точкам перегиба, можно, например, потребовать изолированный экстремум.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group