Интересует "интуитивная формулировка" понятия касательной/касания (для удобства можно оставаться в
![$\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/3/433badc501d4f8a183b14684b47f305e82.png)
), опираясь на которую мы уже можем дать строгое математическое определение. Если коряво переформулировать вопрос, то как можно эмпирически воспринимать/ощущать, что есть
касание?
«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от». У этого наивного понимания есть проблема с касанием
![$y = x^3$ $y = x^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/a/07a5f17ff35590bfc953dd8f20ea6e6a82.png)
и
![$y = 0$ $y = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/e/54e8ccb1d0f9464f43edf5b1665c976382.png)
в нуле, но так по идее это то что нужно.
Ещё можно включить параметричность. Пусть у нас не две кривые, а два семейства кривых, непрерывно зависящих от параметра
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. Тогда касание — это (в том же смысле как выше, и это ломается тем же примером) это когда (всё локально) по одну сторону от некоторого
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
кривые не пересекаются в интересующей окрестности, а по другую сторону от некоторого
![$t_0$ $t_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df6ddacc987bd7a5070beafef47fcc182.png)
кривые пересекаются в двух близких точках. (Или не семейства, а просто кривые можно шевелить. Но критерий по идее усложнится — а вдруг мы шевелим неправильно. Когда заданы семейства, у нас есть только один способ, и если нам не повезло, то таковы были условия задачи, и при них всё верно. А тут у нас нет никаких гарантий, нам надо как-то удостовериться, что мы шевелим самым большим числом способов.)
Или: две кривые касаются в точке, когда они там локально «совпадают» или «почти совпадают» — в зависимости от распущености языка. Если одна из кривых прямая, то вторая «локально как эта прямая».
Локальным свойствам наивное понимание известно: бесконечно малые штучки, бесконечно близкие точки, бесконечно малые окрестности и прочее.
И кстати приведённое вами «лейбницевское» понимание по идее должно быть очень удобным с точки зрения образов и получения результатов без знания определений, в том числе получения изначально самих этих определений.
-- Ср апр 28, 2021 16:39:27 --«Пересечение, оставаясь по одну и ту же сторону от».
Я бы даже считал, что из такой идеи понятие исторически на этой планете и выросло.