Пусть луч

всегда выходит из начала координат и проходит через точку с координатами (

), где

- целое. Каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей? Не могли бы Вы привести для такого типа лучей хотя бы одну решетку с "гарантированными" узлами - в качестве примера?
Ну очевидно что подходит решётка с шагами

.

Если синус или косинус можно разложить на множители с целым множителем, то подойдёт и решётка с меньшим шагом по соответствующей оси. Формулы двойного (тройного и вообще кратного) угла рулят. Если ничего разложить нельзя и синус с косинусом не сокращаются, то подойдёт только лишь решётка с теми же синусом и косинусами.
Можно ли применить универсальную тригонометрическую подстановку и даст ли она эффект я не знаю, попробуйте.
А вот если вдруг в координатах будут очень разные иррациональности, типа логарифма и тригонометрии, то сократиться они могут лишь в очень редких случаях, практически лишь когда они сами по себе будут рациональными, случаи равенства тригонометрии квадратному корню (с рациональным коэффициентом) при одновременном равенстве и логарифма другому квадратному корню (с другим рациональным коэффициентом) ... бывает, но ещё сильно реже. И значит в решётке тоже должны будут присутствовать и логарифм и синус (косинус или что там). То же можно сразу сказать и про сочетание экспоненты и квадратного корня, очень редко они смогут сократиться до рациональной дроби и значит в шагах решётки должны быть оба.
Вот в таком ключе я говорил про наборы иррациональностей.