2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 15:25 


26/09/17
294
Dmitriy40 в сообщении #1514862 писал(а):
Я не очень понимаю при чём здесь ряд
Путь величина $n$-шага решетки определяется функцией $f(n)=n\sin\frac{1}{n}$. Линии такой решетки проходят через частичные суммы соответствующего ряда, то есть через следующие значения координат $x$ и $y$:
0) 0;
1) $\sin1$;
2) $\sin1+2\sin\frac{1}{2}$;
3) $\sin1+2\sin\frac{1}{2}+3\sin\frac{1}{3}$;
и так далее.
Луч $X$ тот же самый.
Существует ли у такой решетки узел, через который проходит $X$?
Если да - его можно найти только перебором?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.04.2021, 16:03 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24020
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Околонаучный софт» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.04.2021, 16:58 
Модератор


20/03/14
11514
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Околонаучный софт»

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 17:41 
Заслуженный участник


20/08/14
8847
Россия, Москва
maximkarimov
Если у Вас одинаковые шаги по обеим осям, то решётка всё ещё остаётся "квадратной", хоть и каждый квадрат своего размера, т.е. это снова просто масштабирование, не влияющее на углы. Значит придётся перебирать все $n$ и искать через какой узел решётки проходит луч, в этом узле дробь $\frac{\sin(2)/f_y(n)}{\cos(2)/f_x(n)}$ станет рациональной. Но хотя бы линейно от $n$ перебирать, а не квадратично как для всей вообще решётки. ;-)
С другой стороны, имея аналитический вид $f_{x,y}(n)$ и координаты $(\cos 2; \sin 2)$ можно наверное выразить $n$ при котором все иррациональности в дроби выше сократятся ... Справится ли с этим Матлаб я без понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 18:12 


26/09/17
294
Dmitriy40 в сообщении #1514937 писал(а):
maximkarimov
Значит придётся перебирать все $n$ и искать через какой узел решётки проходит луч, в этом узле дробь $\frac{\sin(2)/f_y(n)}{\cos(2)/f_x(n)}$ станет рациональной.
А хотя бы есть возможность реализовать в Матлабе функцию, которая бы идентифицировала, что при данном $n$ эта дробь становится рациональной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 19:14 
Заслуженный участник


20/08/14
8847
Россия, Москва
maximkarimov
Это вопрос не ко мне, у меня Матлаба нет.
Но наверное можно же проверить числитель и знаменатель на принадлежность к целым, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 19:39 


26/09/17
294
Dmitriy40 в сообщении #1514959 писал(а):
maximkarimov
наверное можно же проверить числитель и знаменатель на принадлежность к целым, нет?
В случае символьного выражения - не уверен. Но допустим, что такая возможность есть. Однако можем ли мы быть уверены, что существует такое $n$, при котором хотя бы числитель был целым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 20:07 
Заслуженный участник


20/08/14
8847
Россия, Москва
Уверены быть конечно же не можем, в этом и задача, определить пересекает ли луч узлы решётки.
Но вот если пересекает значит все иррациональности в дроби сократились. Не отдельно в числителе и отдельно в знаменателе (так тоже можно, но это очевидно ограничивает класс решёток), а вместе. И дробь стала отношением целых чисел. И это наверняка можно проверить. Аналитически или численно уж не знаю.
Зато по виду координат луча можно сразу сказать каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей: ровно столько сколько их несократимых в координатах. В этом я не очень уверен, если вдруг $f_{x,y}(n)$ будет содержать например степенные члены, то возможно получится обойтись и меньшим количеством иррациональностей в решетке. Но дробь всё равно должна быть рациональной, это ведь просто номера линий решётки, а они могут быть только целыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 20:25 


26/09/17
294
Dmitriy40 в сообщении #1514979 писал(а):
по виду координат луча можно сразу сказать каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей: ровно столько сколько их несократимых в координатах.
Пусть луч $X$ всегда выходит из начала координат и проходит через точку с координатами ($\cos n,\sin n$), где $n$ - целое. Каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей? Не могли бы Вы привести для такого типа лучей хотя бы одну решетку с "гарантированными" узлами - в качестве примера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 21:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Для $f(n) = n \sin \frac 1 n$ мы можем воспользоваться формулой кратного угла, выражая все синусы в сумме через синус и косинус от $\alpha = \frac 1 {n!}$, и $\cos 2, \sin 2$ тоже выразить. Тогда у нас будут целочисленные многочлены от $X = \cos \alpha, Y = \sin \alpha$, которые можно в принципе в точности сравнить. Может статься, что не понадобится даже применять $X^2 + Y^2 = 1$. Хотя не знаю, наверно придётся.

-- Вс апр 18, 2021 23:28:07 --

Правда, доказывать, что пересечения нет, если его нет, нам надо разумеется будет руками. Вероятно и найти его, если оно есть, проще будет руками, выведя общий вид для cумм $f(1) + \ldots + f(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение18.04.2021, 22:40 
Заслуженный участник


20/08/14
8847
Россия, Москва
maximkarimov в сообщении #1514984 писал(а):
Пусть луч $X$ всегда выходит из начала координат и проходит через точку с координатами ($\cos n,\sin n$), где $n$ - целое. Каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей? Не могли бы Вы привести для такого типа лучей хотя бы одну решетку с "гарантированными" узлами - в качестве примера?
Ну очевидно что подходит решётка с шагами $(\cos n; \sin n)$. :mrgreen:
Если синус или косинус можно разложить на множители с целым множителем, то подойдёт и решётка с меньшим шагом по соответствующей оси. Формулы двойного (тройного и вообще кратного) угла рулят. Если ничего разложить нельзя и синус с косинусом не сокращаются, то подойдёт только лишь решётка с теми же синусом и косинусами.
Можно ли применить универсальную тригонометрическую подстановку и даст ли она эффект я не знаю, попробуйте.
А вот если вдруг в координатах будут очень разные иррациональности, типа логарифма и тригонометрии, то сократиться они могут лишь в очень редких случаях, практически лишь когда они сами по себе будут рациональными, случаи равенства тригонометрии квадратному корню (с рациональным коэффициентом) при одновременном равенстве и логарифма другому квадратному корню (с другим рациональным коэффициентом) ... бывает, но ещё сильно реже. И значит в решётке тоже должны будут присутствовать и логарифм и синус (косинус или что там). То же можно сразу сказать и про сочетание экспоненты и квадратного корня, очень редко они смогут сократиться до рациональной дроби и значит в шагах решётки должны быть оба.
Вот в таком ключе я говорил про наборы иррациональностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение19.04.2021, 11:11 


26/09/17
294
arseniiv в сообщении #1514991 писал(а):
Для $f(n) = n \sin \frac 1 n$ мы можем воспользоваться формулой кратного угла, выражая все синусы в сумме через синус и косинус от $\alpha = \frac 1 {n!}$, и $\cos 2, \sin 2$ тоже выразить. Тогда у нас будут целочисленные многочлены от $X = \cos \alpha, Y = \sin \alpha$, которые можно в принципе в точности сравнить. Может статься, что не понадобится даже применять $X^2 + Y^2 = 1$. Хотя не знаю, наверно придётся.
Спасибо! Получить координаты узлов рассматриваемой решетки в виде многочленов - звучит очень привлекательно. Правда не знаю как Матлаб заставить это делать - ведь без этого решить задачу методом перебора узлов не возможно...
arseniiv в сообщении #1514991 писал(а):
доказывать, что пересечения нет, если его нет, нам надо разумеется будет руками. Вероятно и найти его, если оно есть, проще будет руками, выведя общий вид для cумм $f(1) + \ldots + f(n)$.
К сожалению, я нахожусь на более низкой, примитивной ступени развития - это мне не под силу(((

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение19.04.2021, 13:03 


26/09/17
294
arseniiv в сообщении #1514991 писал(а):
Для $f(n) = n \sin \frac 1 n$ мы можем воспользоваться формулой кратного угла, выражая все синусы в сумме через синус и косинус от $\alpha = \frac 1 {n!}$
Пока разобрался как получить сумму в символьном виде:
Используется синтаксис Matlab M
n=10;
s=0;
for i=1:n
    i=sym(i);
    s=s+i*sin(1/i);
end
 

Используется синтаксис Matlab M
s =
sin(1) + 2*sin(1/2) + 3*sin(1/3) + 4*sin(1/4) + 5*sin(1/5) + 6*sin(1/6) + 7*sin(1/7) + 8*sin(1/8) + 9*sin(1/9) + 10*sin(1/10)
 

Но дальше (реализовать указанную Вами подстановку) пока не получается... Подскажите как, плиз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки
Сообщение22.04.2021, 02:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я не умею в матлаб, увы. :|

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: maxal, Toucan, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group