Матлаб: реализовать функцию для узлов произвольной решетки

[maximkarimov]

Dmitriy40 в сообщении #1514862 писал(а):

Я не очень понимаю при чём здесь ряд

Путь величина $n$-шага решетки определяется функцией $f(n)=n\sin\frac{1}{n}$. Линии такой решетки проходят через частичные суммы соответствующего ряда, то есть через следующие значения координат $x$ и $y$:
0) 0;
1) $\sin1$;
2) $\sin1+2\sin\frac{1}{2}$;
3) $\sin1+2\sin\frac{1}{2}+3\sin\frac{1}{3}$;
и так далее.
Луч $X$ тот же самый.
Существует ли у такой решетки узел, через который проходит $X$?
Если да - его можно найти только перебором?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Околонаучный софт» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Околонаучный софт»

[Dmitriy40]

maximkarimov
Если у Вас одинаковые шаги по обеим осям, то решётка всё ещё остаётся "квадратной", хоть и каждый квадрат своего размера, т.е. это снова просто масштабирование, не влияющее на углы. Значит придётся перебирать все $n$ и искать через какой узел решётки проходит луч, в этом узле дробь $\frac{\sin(2)/f_y(n)}{\cos(2)/f_x(n)}$ станет рациональной. Но хотя бы линейно от $n$ перебирать, а не квадратично как для всей вообще решётки.
С другой стороны, имея аналитический вид $f_{x,y}(n)$ и координаты $(\cos 2; \sin 2)$ можно наверное выразить $n$ при котором все иррациональности в дроби выше сократятся ... Справится ли с этим Матлаб я без понятия.

[maximkarimov]

Dmitriy40 в сообщении #1514937 писал(а):

maximkarimov
Значит придётся перебирать все $n$ и искать через какой узел решётки проходит луч, в этом узле дробь $\frac{\sin(2)/f_y(n)}{\cos(2)/f_x(n)}$ станет рациональной.

А хотя бы есть возможность реализовать в Матлабе функцию, которая бы идентифицировала, что при данном $n$ эта дробь становится рациональной?

[Dmitriy40]

maximkarimov
Это вопрос не ко мне, у меня Матлаба нет.
Но наверное можно же проверить числитель и знаменатель на принадлежность к целым, нет?

[maximkarimov]

Dmitriy40 в сообщении #1514959 писал(а):

maximkarimov
наверное можно же проверить числитель и знаменатель на принадлежность к целым, нет?

В случае символьного выражения - не уверен. Но допустим, что такая возможность есть. Однако можем ли мы быть уверены, что существует такое $n$, при котором хотя бы числитель был целым?

[Dmitriy40]

Уверены быть конечно же не можем, в этом и задача, определить пересекает ли луч узлы решётки.
Но вот если пересекает значит все иррациональности в дроби сократились. Не отдельно в числителе и отдельно в знаменателе (так тоже можно, но это очевидно ограничивает класс решёток), а вместе. И дробь стала отношением целых чисел. И это наверняка можно проверить. Аналитически или численно уж не знаю.
Зато по виду координат луча можно сразу сказать каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей: ровно столько сколько их несократимых в координатах. В этом я не очень уверен, если вдруг $f_{x,y}(n)$ будет содержать например степенные члены, то возможно получится обойтись и меньшим количеством иррациональностей в решетке. Но дробь всё равно должна быть рациональной, это ведь просто номера линий решётки, а они могут быть только целыми.

[maximkarimov]

Dmitriy40 в сообщении #1514979 писал(а):

по виду координат луча можно сразу сказать каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей: ровно столько сколько их несократимых в координатах.

Пусть луч $X$ всегда выходит из начала координат и проходит через точку с координатами ($\cos n,\sin n$), где $n$ - целое. Каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей? Не могли бы Вы привести для такого типа лучей хотя бы одну решетку с "гарантированными" узлами - в качестве примера?

[arseniiv]

Для $f(n) = n \sin \frac 1 n$ мы можем воспользоваться формулой кратного угла, выражая все синусы в сумме через синус и косинус от $\alpha = \frac 1 {n!}$, и $\cos 2, \sin 2$ тоже выразить. Тогда у нас будут целочисленные многочлены от $X = \cos \alpha, Y = \sin \alpha$, которые можно в принципе в точности сравнить. Может статься, что не понадобится даже применять $X^2 + Y^2 = 1$. Хотя не знаю, наверно придётся.

-- Вс апр 18, 2021 23:28:07 --

Правда, доказывать, что пересечения нет, если его нет, нам надо разумеется будет руками. Вероятно и найти его, если оно есть, проще будет руками, выведя общий вид для cумм $f(1) + \ldots + f(n)$.

[Dmitriy40]

maximkarimov в сообщении #1514984 писал(а):

Пусть луч $X$ всегда выходит из начала координат и проходит через точку с координатами ($\cos n,\sin n$), где $n$ - целое. Каких и сколько и по каким осям должно быть в решётке иррациональностей? Не могли бы Вы привести для такого типа лучей хотя бы одну решетку с "гарантированными" узлами - в качестве примера?

Ну очевидно что подходит решётка с шагами $(\cos n; \sin n)$.
Если синус или косинус можно разложить на множители с целым множителем, то подойдёт и решётка с меньшим шагом по соответствующей оси. Формулы двойного (тройного и вообще кратного) угла рулят. Если ничего разложить нельзя и синус с косинусом не сокращаются, то подойдёт только лишь решётка с теми же синусом и косинусами.
Можно ли применить универсальную тригонометрическую подстановку и даст ли она эффект я не знаю, попробуйте.
А вот если вдруг в координатах будут очень разные иррациональности, типа логарифма и тригонометрии, то сократиться они могут лишь в очень редких случаях, практически лишь когда они сами по себе будут рациональными, случаи равенства тригонометрии квадратному корню (с рациональным коэффициентом) при одновременном равенстве и логарифма другому квадратному корню (с другим рациональным коэффициентом) ... бывает, но ещё сильно реже. И значит в решётке тоже должны будут присутствовать и логарифм и синус (косинус или что там). То же можно сразу сказать и про сочетание экспоненты и квадратного корня, очень редко они смогут сократиться до рациональной дроби и значит в шагах решётки должны быть оба.
Вот в таком ключе я говорил про наборы иррациональностей.

[maximkarimov]

arseniiv в сообщении #1514991 писал(а):

Для $f(n) = n \sin \frac 1 n$ мы можем воспользоваться формулой кратного угла, выражая все синусы в сумме через синус и косинус от $\alpha = \frac 1 {n!}$, и $\cos 2, \sin 2$ тоже выразить. Тогда у нас будут целочисленные многочлены от $X = \cos \alpha, Y = \sin \alpha$, которые можно в принципе в точности сравнить. Может статься, что не понадобится даже применять $X^2 + Y^2 = 1$. Хотя не знаю, наверно придётся.

Спасибо! Получить координаты узлов рассматриваемой решетки в виде многочленов - звучит очень привлекательно. Правда не знаю как Матлаб заставить это делать - ведь без этого решить задачу методом перебора узлов не возможно...

arseniiv в сообщении #1514991 писал(а):

доказывать, что пересечения нет, если его нет, нам надо разумеется будет руками. Вероятно и найти его, если оно есть, проще будет руками, выведя общий вид для cумм $f(1) + \ldots + f(n)$.

К сожалению, я нахожусь на более низкой, примитивной ступени развития - это мне не под силу(((

[maximkarimov]

arseniiv в сообщении #1514991 писал(а):

Для $f(n) = n \sin \frac 1 n$ мы можем воспользоваться формулой кратного угла, выражая все синусы в сумме через синус и косинус от $\alpha = \frac 1 {n!}$

Пока разобрался как получить сумму в символьном виде:

Используется синтаксис Matlab M

n=10;
s=0;
for i=1:n
    i=sym(i);
    s=s+i*sin(1/i);
end
 

Используется синтаксис Matlab M

s = 
sin(1) + 2*sin(1/2) + 3*sin(1/3) + 4*sin(1/4) + 5*sin(1/5) + 6*sin(1/6) + 7*sin(1/7) + 8*sin(1/8) + 9*sin(1/9) + 10*sin(1/10)
 

Но дальше (реализовать указанную Вами подстановку) пока не получается... Подскажите как, плиз.

[arseniiv]

Я не умею в матлаб, увы.