Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)

[vorvalm]

Dmitriy40
Огромное спасибо. Определил, что цепочка кратных 2657 $(p_{r+1})$ вычетов
проходит через разность $d=10720$ и имеет один и единственный общий вычет с другой цепочкой
рангом ниже. А моя гипотеза основывалась на том, что цепочка $(p_{r+1})$ не будет
задевать другие цепочки. Но есть все-таки осторожный оптимизм для дальнейшего исследования.

[vicvolf]

Dmitriy40 О чем думал vorvalm, начиная тему, ему виднее.
Я лично думал о другом - пытался найти оценку максимального расстояния между вычетами ПСВ для сравнительно небольших $p_r$. Мне было интересно найти границу применения данной простой формулы. Только Ваши расчеты могли помочь. Я дал ее математическое обоснование и хотел понять, почему оно не верно для больших $p_r$. Сейчас вспомнил про эти формулы, но так и не пойму, где ошибка в модели, откуда берется нелинейность, ведь для небольших значений $p_r$ справедлива линейная формула $2p_{r-1}$? Что творится с расстояниями между вычетами в ПСВ при больших $p_r$ так и остается для меня загадкой.

[Dmitriy40]

По поводу неоптимальности моего алгоритма.
Варьируя (методом "спуска", не полный перебор конечно) два подстроечных параметра алгоритма увеличил интервал для $p_r=2647$ с $d=10720$ до $d=11142$:
$p_r=2647, d=11142$, $4p_{r+1}=10628, d/p_{r+1}=4.193451$, $4p_{r-2}-2=10482, d/(4p_{r-2}-2)=1.062965$, $888946744524276..678222682892839+11142$
В процессе и много промежуточных интервалов нашёл.

Кстати не понимаю почему есть зависимость от первого подстроечного параметра, вроде не должно быть, однако ж ... Написать написал, даже работает более-менее правильно, а вот почему — не понимаю.

Но с $p_r=1997$ этот финт не прошёл, $d=8034$ увеличился лишь на $2$. Да и это заметил случайно, причём оказывается на нём мой алгоритм нашёл неверную правую границу ($d=8034$ не равно $+8036$), именно она при проверке сдвинулась на 2 вправо (оказалось делится на $1877$), чего я ну никак не ожидал и хорошо что не стал убирать проверку всего интервала, соответственно и дроби чуточку больше показанных должны быть.
$p_r=1997, d=8034$, $4p_{r+1}=7996, d/p_{r+1}=4.019010$, $4p_{r-2}-2=7946, d/(4p_{r-2}-2)=1.011075$, $379801490924159..660153454296077+8036$

-- 10.04.2021, 17:25 --

Dmitriy40 в сообщении #1513591 писал(а):

Видно что $1997$ объединило два меньших интервала, как впрочем и каждое из $1901\ldots1993$, т.е. каждое из них появилось лишь только справа или только слева от $1997$, но не одновременно и там и там. Впрочем торможу, очевидно же, что и слева и справа может оказаться только число меньшее половины от $p_r$.

Разумеется я согласен что каждое простое объединяет не более двух интервалов, но Вы очевидно ошибаетесь с оценкой их размера.
Чисто теоретически я (пока?) не вижу запрета соседним интервалам быть $d_{max}$ и $d_{max}-2$ (или $d_{max}-4$) и тогда если в их общую границу попадёт следующее простое (в какой-то степени), то максимальный интервал почти удвоится за один шаг. Конечно это очень маловероятно, но запрещено ли? Не уверен.

vicvolf в сообщении #1513578 писал(а):

У Вас получается расстояние больше $4p_{r-1}-2$, т.е. должны объединяться три интервала или более, что быть не может, так как как я показал, большое расстояние между удаляемыми вычетами.

Чего-то я подумал и не понял а почему собственно не могут числа кратные $p_r$ встретиться два или более раз и соответственно объединить более двух интервалов? Для этого достаточно чтобы в праймориале $p_{r-1}\#$ был интервал $2p_r$, тогда его границы как раз могут быть вычеркнуты числом $p_r$. Пока такого вроде бы не находилось, но ведь для $p_r\ge67$ максимальные интервалы уже больше удвоенного следующего простого, а значит должны быть и в точности равные. И в них таки будет объединение более двух интервалов.

-- 10.04.2021, 17:30 --

А это кстати означает что прирост максимальных интервалов при переходе к следующему $p_r$ для $p_r>67$ должен быть не менее $+4$ — если по краям предыдущего интервала были близнецы с интервалами по $2$. Реально прирост конечно значительно больше, но это ограничение снизу на него.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1513770 писал(а):

О чем думал vorvalm, начиная тему, ему виднее.

Это надо спрашивать не у Dmitriy40, а у автора темы.
А думал я о максимальной разности между вычетами ПСВ. И то, что мое предположение
оказалось ложным, еще не повод для издевательства над автором.

[vicvolf]

(Оффтоп)

vorvalm Извините, Вы не поняли. Меня спросили, о смысле темы. И я, увидев Ваш ответ, написал, что vorvalm виднее. Никаких издевательств даже в мыслях не было.

[vorvalm]

(Оффтоп)

vicvolf Проехали

[Dmitriy40]

Я не издевался, а не понял зачем было создавать данную тему если ответ на заданный в ней вопрос уже известен, раз уж есть выражение для оценки снизу и оно растёт с ростом $n$, а значит никакого предела нет. И я точно помню что это выражение уже приводилось в соседней теме.

[vorvalm]

Я не верю в истины в последней инстанции.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513775 писал(а):

Чего-то я подумал и не понял а почему собственно не могут числа кратные $p_r$ встретиться два или более раз и соответственно объединить более двух интервалов? Для этого достаточно чтобы в праймориале $p_{r-1}\#$ был интервал $2p_r$, тогда его границы как раз могут быть вычеркнуты числом $p_r$. Пока такого вроде бы не находилось, но ведь для $p_r\ge67$ максимальные интервалы уже больше удвоенного следующего простого, а значит должны быть и в точности равные. И в них таки будет объединение более двух интервалов.
А это кстати означает что прирост максимальных интервалов при переходе к следующему $p_r$ для $p_r>67$ должен быть не менее $+4$ — если по краям предыдущего интервала были близнецы с интервалами по $2$. Реально прирост конечно значительно больше, но это ограничение снизу на него.

При $p_r=67$ значение максимального расстояния в ПСВ равно $d=152$, а при $p_r=71$ значение $d=174$. Для получения $d=174$ достаточно объединения двух интервалов 152 и 22 или 94 и 80, т.е. даже далеких от максимальных.

[Dmitriy40]

Ну достаточно, ну и что. Я же не утверждал что механизм формирования максимальных интервалов единственен. Если в $p_{r-1}\#$ есть интервал $2p_r$, то в одном из $p_r$ дублей в $p_r\#$ он должен попасть границами на кратные $p_r$ числа и будет объединение трёх интервалов. Не обязательно в новый максимум (хотя может быть и так).

-- 10.04.2021, 22:39 --

vicvolf
И я таки прав! Такие случаи бывают. Вот пример:
$p_r=199, d=402$, $284911552950510..324858256202713+414$ (расчётный $d=402$, реальный оказался $+414$)
2849115529505101197447244043216040653260305756904854975830108349322324858256202713+414
Список наименьших простых делителей для всех нечётных чисел в интервале 414 (с границами):
379,5,3,199,197,3,5,11,3,7,19,3,193,191,3,181,5,3,11,113,3,5,17,3,13,29,3,67,101,3,7,5,3,47,37,3,5,7,3,17,11,3,53,61,3,31,5,3,
19,73,3,5,23,3,29,97,3,179,7,3,43,5,3,13,137,3,5,19,3,131,83,3,7,11,3,23,5,3,41,7,3,5,173,3,11,167,3,109,71,3,17,5,3,7,67,3,5,103,
3,79,7,3,13,43,3,19,5,3,37,59,3,5,29,3,7,13,3,11,157,3,151,5,3,149,17,3,5,47,3,101,139,3,113,127,3,7,5,3,31,11,3,5,7,3,23,37,3,107,
53,3,11,5,3,83,13,3,5,89,3,71,41,3,19,7,3,61,5,3,59,31,3,5,11,3,47,17,3,7,79,3,13,5,3,11,7,3,5,163,3,43,23,3,17,13,3,73,5,3,
7,29,3,5,199,3,191,7,3,1439
И вот здесь вполне видно что число $199$ попалось дважды, т.е. объединило три интервала!

[vicvolf]

Dmitriy40
Очень хорошо, что проверили на всем ПСВ объединение более двух интервалов, поэтому получается нелинейность.

На интервале это не возможно, так иначе не выполнялась бы гипотеза Лежандра.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1513812 писал(а):

На интервале это не возможно,

На каком? Я же привёл что возможно!

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513817 писал(а):

На каком?

Для ПСВ$p_r\#$ интервал $(1,p^2_{r+1})$, где находятся только простые числа.

[Dmitriy40]

vicvolf
Но в этой теме речь про максимальные расстояния на всём $p_r\#$. Да и Вы вот тут говорили про весь ПСВ:

vicvolf в сообщении #1513578 писал(а):

Какое же максимальное расстояние между вычетами станет в ПСВ$p_{r}\#$? В наибольшем случае объединится максимальное расстояние $2p_{r-1}$ и расстояние немного меньше $2p_{r-1}-2$, т.е. получим максимальное расстояние $4p_{r-1}-2$. Таких расстояний в ПСВ$p_{r}\#$, как минимум два, так имеются симметричные вычеты в ПСВ.

У Вас получается расстояние больше $4p_{r-1}-2$, т.е. должны объединяться три интервала или более, что быть не может, так как как я показал, большое расстояние между удаляемыми вычетами.

Даже сами подчеркнули про два интервала, а я нашёл и три, причём очень задолго до выполнения условия $d=414\not>4p_{r-1}-2=786$. Да, найденный вариант не дал максимальное расстояние, но вероятно можно найти и такой вариант, не вижу этому запретов.

И да, постарался и нашёл такой! Он оказался уже для $p_r=73$, почти как я и предсказывал. Вот список наименьших простых делителей для $p_r=73$ в интервале $190$ (с границами), который является максимальным для данного $p_r$:
65929,3,7,5,3,61,13,3,5,7,3,43,23,3,11,59,3,
73,5,3,19,41,3,5,17,3,31,29,3,53,7,3,13,5,3,23,11,3,5,19,3,17,47,3,7,13,3,11,5,3,37,7,3,5,43,3,29,31,3,67,
71,3,41,5,3,7,61,3,5,11,3,13,7,3,59,17,3,19,5,3,11,23,3,5,13,3,7,37,3,47,
73,3,17,5,3,58810556038910741050470580169
Как легко увидеть $73$ встречается дважды и объединяет ТРИ предыдущих интервала, формируя при этом как раз максимальный интервал.
Аналогичная картина и для $p_r=\{83;89;103;113;131;151;157;167;173;179;191;193;197;211;223;227;229;233;239;241;251;263\}$, т.е. для большей части всех следующих.

А на $(1;p_{r+1}^2)$ всё проще и малоинтересно. И легко проверяемо.

[Dmitriy40]

К сожалению для $p_r=73$ интервал лежит вне $p_r\#$, ну вот такая проблема в данных в OEIS, но для $p_r=83$ интервал $d=216$ лежит внутри $83\#$ и потому вполне подходит уже без всяких оговорок. Вот для него список минимальных простых делителей (для всех нечётных чисел включая границы):
4001,3,5,17,3,
79,23,3,29,7,3,13,5,3,19,11,3,5,
83,3,17,53,3,7,13,3,11,5,3,23,7,3,5,19,3,
61,47,3,31,41,3,37,5,3,7,59,3,5,11,3,13,7,3,
67,17,3,43,5,3,11,
71,3,5,13,3,7,29,3,
73,31,3,17,5,3,53,23,3,5,37,3,41,11,3,47,
79,3,7,5,3,13,19,3,5,7,3,29,61,3,23,43,3,
83,5,3,59,17,3,5,22871
Тоже объединяются три предыдущих интервала.

Для $p_r=\{89;173;191;197;223;227;229;233;251\}$ тоже интервалы внутри праймориала и тоже в максимальный объединяется по три интервала.