Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1513170 писал(а):

Странно, мне наоборот, трудно "на глаз" определить величину того же $18729282685998828$, а вот порядок числа $1{,}87293E+16$ виден прекрасно, почти вдвое больше $10^{16}$.

у каждого свои недостатки

[Yury_rsn]

чудеса какие-то..
там в http://oeis.org/A048670/a048670.txt
начиная с 37# - номера позиций вообще больше праймориала

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1513186 писал(а):

чудеса какие-то..
там в http://oeis.org/A048670/a048670.txt
начиная с 37# - номера позиций вообще больше праймориала

А вы случайно не путаете $r$ и $p_r$ ?

[Yury_rsn]

vorvalm в сообщении #1513199 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1513186 писал(а):

чудеса какие-то..
там в http://oeis.org/A048670/a048670.txt
начиная с 37# - номера позиций вообще больше праймориала

А вы случайно не путаете $r$ и $p_r$ ?

Давайте сопоставим хотя бы для 37#
В таблице Дмитрия - для максимумов по стыкам праймориалов
37#=7420738134810: 62 2723740849799
Из таблицы для функции Якобсталя http://oeis.org/A048670/list смотрим:
n a(n)
1 2
2 4
3 6
4 10
5 14
6 22
7 26
8 34
9 40
10 46
11 58
12 66
Девятая строка - это 23# - разность 40
Значит, 12 строка - это 37#, разность 66
Теперь смотрим сюда http://oeis.org/A048670/a048670.txt
9 40 20332472
10 46 417086648
11 58 125601285782
12 66 8720486098464
Номера строк и разности совпадают. Правильно?

А теперь сравниваем
37#=7420738134810 и
12 66 8720486098464
По разрядам:
7 420 738 134 810
8 720 486 098 464

-- 07.04.2021, 10:20 --

Dmitriy40 в сообщении #1472614 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1472558 писал(а):

Есть ли какие-то еще интервалы по каждому праймориалу, меньшие максимального, но большие, чем первые от единицы (предыдущее простое число, умноженное на 2)?
И растет ли количество этих промежуточных интервалов при возрастании праймориала?

Да, есть, начиная от $13\#$. И первый интервал равен следующему простому минус 1 (это кстати легко доказать), а не удвоенному предыдущему.
Да, количество промежуточных в принципе растёт, хотя есть и исключения.
Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):

11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464

Нашел на первой странице расчеты Дмитрия - для 37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464
- такое же число

Наверное, я где-то ошибаюсь

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1513201 писал(а):

Номера строк и разности совпадают. Правильно?

То, что вы называете номера строк, на самом деле $ r$.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1513201 писал(а):

66/8720486098464
- такое же число
Наверное, я где-то ошибаюсь

Да, праймориал $37\#$=7420738134810. Получается, что максимум 66 за границами праймориала. Надо уточнить у Дмитрия.

[Yury_rsn]

По идее, если от этого номера позиции отнять праймориал, то получим минимальный номер позиции, где начинается интервал 66.
Буду вечером у компа, проверю

[Dmitriy40]

Это явно какой-то глюк, да ещё и число чётное, чего у меня быть никак не должно. Причём глюк уже и с $31\#$. Но в чём именно не знаю, той программы давно не осталось. Написал заново и запустил, пока считает, по $29\#$ числа правильные.

Yury_rsn в сообщении #1513278 писал(а):

По идее, если от этого номера позиции отнять праймориал, то получим минимальный номер позиции, где начинается интервал 66.

В общем да, так и получается: $8720486098464-7420738134810-1=1299747963653$ и отсюда да, расстояние $66$. Но минимальное ли оно теперь уже не знаю.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1513282 писал(а):

Это явно какой-то глюк, да ещё и число чётное, чего у меня быть никак не должно. Причём глюк уже и с $31\#$. Но в чём именно не знаю, той программы давно не осталось.

Причем глюк прямо-таки в квадрате - ведь и в OEIS этот же глюк повторился для 37#.
За этим что-то кроется, интуиция подсказывает

[vorvalm]

Dmitriy40 в сообщении #1513282 писал(а):

В общем да, так и получается: $8720486098464-7420738134810-1=1299747963653$ и отсюда да, расстояние $66$. Но минимальное ли оно теперь уже не знаю.

$1299747963653 $ не является началом разности 66.

[Yury_rsn]

vorvalm в сообщении #1513316 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1513282 писал(а):

В общем да, так и получается: $8720486098464-7420738134810-1=1299747963653$ и отсюда да, расстояние $66$. Но минимальное ли оно теперь уже не знаю.

$1299747963653 $ не является началом разности 66.

Почти начало
1 299 747 963 653 - взаимно простое с 37#,
следующее взаимно простое с 37# - 1 299 747 963 719
Разность между этими двумя числами равна 66

[vorvalm]

Да, это моя ошибка. Я поспешил с расстановкой цепочек.

[Yury_rsn]

vorvalm
Вот что интересно.
Программа Дмитрия, как и программа, которая считала в OEIS, каким-то образом проскочила все "d=66" внутри праймориала, и нашла этот интервал только за пределами 37#.

А ведь, если проанализировать эту разность вашим методом, то выяснится, что этих самых d=66 должно было встретиться внутри праймориала не меньше 12 раз (как в 23#).
Вот цепочки, которые состоят больше, чем из одного звена:
5х5. 7х3, 11х2, 13х2, 17х2, 19х2, 23х2,
Свободными остаются 29, 31, 37
Как вы указывали - в этом случае они могут свободно меняться местами. Т.е., всего 6 вариантов. С учетом симметрии 12.

Удивительно, как программа могла не заметить столько разностей

[vorvalm]

Составляя цепочки к разным разностям, я нахожусь в недоумении
в отношении разности $d=106$
У меня получается эта разность не в $53\#$, а в $59\#$ ? ?

[Dmitriy40]

vorvalm
Ну так скажите с какого числа, а мы уж проверим.