Гравитационное поле внутри массивной сферы

[schekn]

epros в сообщении #1511944 писал(а):

Ещё раз: Данная процедура сшивки не совпадает с непрерывностью метрических компонент.

Ну и чего? И у Вайнберга, когда он приравнивает $g_{rr}$ на границе коллапсирующего тела именно в стандартных координатах , он находит недостающую постоянную интегрирования для внутреннего решения. Называет это сшивкой. В синхронных там разрыв $g_{RR}$.

[epros]

schekn в сообщении #1512004 писал(а):

Ну и чего? И у Вайнберга...

Ничего. Не у Вайнберга, а тот способ сшивки, который здесь обсуждался, не требует непрерывности компонент метрики.

[schekn]

epros в сообщении #1512035 писал(а):

тот способ сшивки, который здесь обсуждался, не требует непрерывности компонент метрики.

Скорее всего из обсуждаемого здесь способа сшивки следует частный случай непрерывности метрических компонент в стандартных координатах. Только я не видел доказательства. О чём и был вопрос.

[epros]

schekn в сообщении #1512139 писал(а):

Скорее всего из обсуждаемого здесь способа сшивки следует частный случай непрерывности метрических компонент в стандартных координатах

Какие координаты "стандартные"?

[schekn]

epros в сообщении #1512141 писал(а):

schekn в сообщении #1512139 писал(а):

Скорее всего из обсуждаемого здесь способа сшивки следует частный случай непрерывности метрических компонент в стандартных координатах

Какие координаты "стандартные"?

Ну как, это же общепринятое определение (У Вайнберга можете глянуть). У которых угловой член имеет вид:

$$-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

Площади $S=4{\pi}r^2$ на границе вне и внутри шара совпадают.

[epros]

schekn в сообщении #1512245 писал(а):

У которых угловой член имеет вид:

$$-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

Не сойдётся. Если такие же координаты внутри оболочки, то разрыв компоненты $g_{r r}$ обеспечен.

[realeugene]

epros в сообщении #1512274 писал(а):

Не сойдётся. Если такие же координаты внутри оболочки, то разрыв компоненты $g_{r r}$ обеспечен.

Это же стандартная метрика на сфере. При подходящем $r$.

А вот почему метрику в многообразии с краем продляют непрерывно из внутренности, для которой записано вакуумное уравнение Эйнштейна, на край? Потому что интервал до края конечен, и интервал от бесконечно близкой внутренней точки до края должен быть равен интервалу от края до этой точки?

[epros]

realeugene в сообщении #1512288 писал(а):

Это же стандартная метрика на сфере. При подходящем $r$.

И что? Я выше приводил пример непрерывной метрики. Там в метрике внутри оболочки перед $(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$ стоит вовсе не $-r^2$ (если снаружи оболочки - $-r^2$). Можно и наоборот - если внутри оболочки выбрать метрику с $-r^2 (d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$, то снаружи оболочки будет метрика не с $-r^2 (d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$.

realeugene в сообщении #1512288 писал(а):

А вот почему метрику в многообразии с краем продляют непрерывно из внутренности, для которой записано вакуумное уравнение Эйнштейна, на край? Потому что интервал до края конечен, и интервал от бесконечно близкой внутренней точки до края должен быть равен интервалу от края до этой точки?

Не понял, Вы о чём сейчас? Если задача состоит в том, чтобы в задаче со сферическим слоем материи построить координаты, в которых компоненты метрического тензора непрерывны, то это сделать можно. И польза от таких координат заключается в том, что в них можно сразу в лоб посчитать ТЭИ на сфере, найти поверхностную плотность массы, компоненты давления и т.п.

[realeugene]

epros в сообщении #1512292 писал(а):

И что? Я выше приводил пример непрерывной метрики. Там в метрике внутри оболочки перед $(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$ стоит вовсе не $-r^2$ (если снаружи оболочки - $-r^2$). Можно и наоборот - если внутри оболочки выбрать метрику с $-r^2 (d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$, то снаружи оболочки будет метрика не с $-r^2 (d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$.

Какая разница? Главное, чтобы $r$ был одинаковым на сфере. В этой метрике нет $dr$, это именно метрика на сфере.

epros в сообщении #1512292 писал(а):

И польза от таких координат заключается в том, что в них можно сразу в лоб посчитать ТЭИ на сфере

Нельзя в них считать ТЭИ на сфере, так как он бесконечный.А правила работы с обобщёнными функциями на псевдометрическом многообразии нужно выводить отдельно.

[epros]

realeugene в сообщении #1512295 писал(а):

Какая разница? Главное, чтобы $r$ был одинаковым на сфере. В этой метрике нет $dr$, это именно метрика на сфере.

Никакой разницы. Просто где-то непрерывная метрика будет содержать члены, отличающиеся от $-r^2 (d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$. И вопрос был не о метрике на сфере, а об угловом члене метрики вообще.

realeugene в сообщении #1512295 писал(а):

Нельзя в них считать ТЭИ на сфере, так как он бесконечный.А правила работы с обобщёнными функциями на псевдометрическом многообразии нужно выводить отдельно.

Без проблем в обобщённых функциях и посчитаем. Правила известны.

[schekn]

epros в сообщении #1512274 писал(а):

Не сойдётся. Если такие же координаты внутри оболочки, то разрыв компоненты $g_{r r}$ обеспечен.

Оболочка , которую мы рассматривали , имеет конечную толщину. Сойдется. Зафиксируйте $r$ и будет вам на сфере.

[epros]

schekn в сообщении #1512318 писал(а):

Оболочка , которую мы рассматривали , имеет конечную толщину. Сойдется. Зафиксируйте $r$ и будет вам на сфере.

Во-первых, я говорил о сфере нулевой толщины. А во-вторых, этот вывод не зависит от толщины оболочки. Если в описанной Вами метрике на оболочке и не будет разрыва, то переход всё равно будет необоснованно резким, ибо это неправильные координаты - шаг сетки вдоль $r$ меняется при переходе изнутри наружу.

[schekn]

epros в сообщении #1512327 писал(а):

schekn в сообщении #1512318 писал(а):

Оболочка , которую мы рассматривали , имеет конечную толщину. Сойдется. Зафиксируйте $r$ и будет вам на сфере.

Во-первых, я говорил о сфере нулевой толщины. А во-вторых, этот вывод не зависит от толщины оболочки. Если в описанной Вами метрике на оболочке и не будет разрыва, то переход всё равно будет необоснованно резким, ибо это неправильные координаты - шаг сетки вдоль $r$ меняется при переходе изнутри наружу.

Разумеется для нулевой толщины будет разрыв.
А что, если у шара будет будет внутри шарообразная дырка, что-то изменится в смысле непрерывности метрической компоненты $g_{rr}$ ?
Фразы "переход необоснованно резкий" ни о чём.

[epros]

schekn в сообщении #1512358 писал(а):

Разумеется для нулевой толщины будет разрыв.

Не разумеется. Можно обойтись и без разрыва.

schekn в сообщении #1512358 писал(а):

А что, если у шара будет будет внутри шарообразная дырка, что-то изменится в смысле непрерывности метрической компоненты $g_{rr}$ ?
Фразы "переход необоснованно резкий" ни о чём.

Я же сказал о чём это. Масштабы координатной сетки вдоль $r$ внутри и снаружи разные. Например, снаружи - одна линия на метр, а внутри - две линии на метр. Конечно при переходе к тонкому слою при таких условиях получится разрыв метрических компонент. Поэтому лучше масштабы сеток привести в соответствие, тогда и разрыва не будет.

[realeugene]

epros в сообщении #1512392 писал(а):

Можно обойтись и без разрыва.

Наверное можно, но геометрия должна получиться одинаковой.

-- 01.04.2021, 14:47 --

epros в сообщении #1512392 писал(а):

Например, снаружи - одна линия на метр, а внутри - две линии на метр.

Так это разные карты.