2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 08:47 


01/03/20
46
Известно, что $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=C$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}f'''(x)=0$. Докажите, что $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}f''(x)=0$.

Не знаю, как решить. Были следующие мысли.

Из $f'(x)\to 0$ не следует $f(x)\to C$ при $x\to+\infty$. Пример: $f(x)=\ln x$.

Также из $f(x)\to C$ не следует $f'(x)\to 0$ при $x\to+\infty$. Пример: $f(x)=\frac{1}{x}\sin x^3$.

Но можно утверждать следующее.
Если $f'(x)\to 0$, то $f(x)=O(x)$ при $x\to+\infty$.
Это следует из теоремы Лагранжа: Для любого $\varepsilon>0$ найдется $M>0$ такие, что при $x > x_0 > M$ верно неравенство $|f(x)-f(x_0)|=|f'(\xi)||x-x_0|< \varepsilon |x-x_0|$. Фиксируя какое-нибудь $\varepsilon>0$, а затем $x_0$, получаем утверждение.

Аналогично, если $f'(x)=O(x^n)$, то $f(x)=O(x^{n+1})$ при $x\to+\infty$.

Также пробовал сделать замену $g(x)=f(1/x)$. Тогда $g'(x)=-\frac{1}{x^2}f'(1/x)$, $g''(x)=\frac{2}{x^3}f'(1/x)+\frac{1}{x^4}f''(1/x)$ и т.д.

Но что дальше из этого можно вывести?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.03.2021, 13:32 
Модератор


20/03/14
11471
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.03.2021, 19:33 
Модератор


20/03/14
11471
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 19:51 
Аватара пользователя


23/12/18
249
Если $f'''(x)$ близко к нулю на некотором не слишком большом интервале, что можно сказать про $f''(x)$, $f'(x)$ и, наконец, $f(x)$ на этом интервале?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:06 


01/03/20
46
xagiwo в сообщении #1512321 писал(а):
Если $f'''(x)$ близко к нулю на некотором не слишком большом интервале, что можно сказать про $f''(x)$ ... на этом интервале?
Можно сказать, что колебание $f''(x)$ близко к нулю на этом интервале. Что еще можно сказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
899
матмех спбгу
IvanX в сообщении #1512216 писал(а):
Но можно утверждать следующее.

Так Вам про эту производную надо доказывать, а не следствия из этого выводить. Задача на формулу Тейлора.

Можно рассуждать так. Есть 4 производные: про две что-то известно и про две нужно что-то доказать. Пытаться постепенно пользоваться каким-то одним условием задачи или доказывать что-то только про одну производную — гиблое дело. Надо связать все четыре производные вместе. А это и есть формула Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5088
Москва
Пусть первая производная не стремится к нулю, а, наоборот, сколь угодно далеко бывает больше $2$. Понятно что она не может быть больше $2$ на далеком отрезке длины больше $1$ (иначе $f$ на этом отрезке наберет $1$ роста), значит в $f'(x) > 2$ а $f'(x + y) < 1$ где $y < 1$. Но значит вторая производная где-то на этом отрезке не больше чем $-1$. Т.к. отрезок далекий, то третья производная на нём по модулю не больше одной миллионной, а значит вторая производная на отрезке $[x + y, x + y + 10]$ не больше чем $-\frac{1}{2}$. Ну и значит первая производная на отрезке $[x + y + 9, x + y + 10]$ не больше $-1$, а это опять плохо - $f$ на этом отрезке уменьшится хотя бы на $-1$.
Осталось это всё изложить строго, заменив константы на нужные переменные, и провести аналогичное (даже более простое) рассуждение для второй производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:53 
Аватара пользователя


23/12/18
249
IvanX в сообщении #1512325 писал(а):
Можно сказать, что колебание $f''(x)$ близко к нулю на этом интервале. Что еще можно сказать?

Из того, как выглядит $f''(x)$ можно догадаться о том, как выглядит $f'(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:58 


01/03/20
46
Кажется, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение01.04.2021, 02:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
По совету demolishka.
$$
f(x+h)-f(x)=f'(x)h+f''(x)/2\cdot h^2+f'''(\xi)/6\cdot h^3
$$
Возьмите два фиксированных различных значения $h$ (например, $1$ и $2$). Устремите $x$ к бесконечности. Что куда стремится?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group