2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 08:47 


01/03/20
46
Известно, что $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=C$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}f'''(x)=0$. Докажите, что $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}f''(x)=0$.

Не знаю, как решить. Были следующие мысли.

Из $f'(x)\to 0$ не следует $f(x)\to C$ при $x\to+\infty$. Пример: $f(x)=\ln x$.

Также из $f(x)\to C$ не следует $f'(x)\to 0$ при $x\to+\infty$. Пример: $f(x)=\frac{1}{x}\sin x^3$.

Но можно утверждать следующее.
Если $f'(x)\to 0$, то $f(x)=O(x)$ при $x\to+\infty$.
Это следует из теоремы Лагранжа: Для любого $\varepsilon>0$ найдется $M>0$ такие, что при $x > x_0 > M$ верно неравенство $|f(x)-f(x_0)|=|f'(\xi)||x-x_0|< \varepsilon |x-x_0|$. Фиксируя какое-нибудь $\varepsilon>0$, а затем $x_0$, получаем утверждение.

Аналогично, если $f'(x)=O(x^n)$, то $f(x)=O(x^{n+1})$ при $x\to+\infty$.

Также пробовал сделать замену $g(x)=f(1/x)$. Тогда $g'(x)=-\frac{1}{x^2}f'(1/x)$, $g''(x)=\frac{2}{x^3}f'(1/x)+\frac{1}{x^4}f''(1/x)$ и т.д.

Но что дальше из этого можно вывести?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.03.2021, 13:32 
Модератор


20/03/14
11502
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.03.2021, 19:33 
Модератор


20/03/14
11502
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 19:51 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Если $f'''(x)$ близко к нулю на некотором не слишком большом интервале, что можно сказать про $f''(x)$, $f'(x)$ и, наконец, $f(x)$ на этом интервале?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:06 


01/03/20
46
xagiwo в сообщении #1512321 писал(а):
Если $f'''(x)$ близко к нулю на некотором не слишком большом интервале, что можно сказать про $f''(x)$ ... на этом интервале?
Можно сказать, что колебание $f''(x)$ близко к нулю на этом интервале. Что еще можно сказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
915
матмех спбгу
IvanX в сообщении #1512216 писал(а):
Но можно утверждать следующее.

Так Вам про эту производную надо доказывать, а не следствия из этого выводить. Задача на формулу Тейлора.

Можно рассуждать так. Есть 4 производные: про две что-то известно и про две нужно что-то доказать. Пытаться постепенно пользоваться каким-то одним условием задачи или доказывать что-то только про одну производную — гиблое дело. Надо связать все четыре производные вместе. А это и есть формула Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5121
Москва
Пусть первая производная не стремится к нулю, а, наоборот, сколь угодно далеко бывает больше $2$. Понятно что она не может быть больше $2$ на далеком отрезке длины больше $1$ (иначе $f$ на этом отрезке наберет $1$ роста), значит в $f'(x) > 2$ а $f'(x + y) < 1$ где $y < 1$. Но значит вторая производная где-то на этом отрезке не больше чем $-1$. Т.к. отрезок далекий, то третья производная на нём по модулю не больше одной миллионной, а значит вторая производная на отрезке $[x + y, x + y + 10]$ не больше чем $-\frac{1}{2}$. Ну и значит первая производная на отрезке $[x + y + 9, x + y + 10]$ не больше $-1$, а это опять плохо - $f$ на этом отрезке уменьшится хотя бы на $-1$.
Осталось это всё изложить строго, заменив константы на нужные переменные, и провести аналогичное (даже более простое) рассуждение для второй производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:53 
Аватара пользователя


23/12/18
250
IvanX в сообщении #1512325 писал(а):
Можно сказать, что колебание $f''(x)$ близко к нулю на этом интервале. Что еще можно сказать?

Из того, как выглядит $f''(x)$ можно догадаться о том, как выглядит $f'(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение31.03.2021, 20:58 


01/03/20
46
Кажется, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел производных при x→∞
Сообщение01.04.2021, 02:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4180
По совету demolishka.
$$
f(x+h)-f(x)=f'(x)h+f''(x)/2\cdot h^2+f'''(\xi)/6\cdot h^3
$$
Возьмите два фиксированных различных значения $h$ (например, $1$ и $2$). Устремите $x$ к бесконечности. Что куда стремится?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group