Предел производных при x→∞

[IvanX]

Известно, что $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=C$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}f'''(x)=0$. Докажите, что $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}f''(x)=0$.

Не знаю, как решить. Были следующие мысли.

Из $f'(x)\to 0$ не следует $f(x)\to C$ при $x\to+\infty$. Пример: $f(x)=\ln x$.

Также из $f(x)\to C$ не следует $f'(x)\to 0$ при $x\to+\infty$. Пример: $f(x)=\frac{1}{x}\sin x^3$.

Но можно утверждать следующее.
Если $f'(x)\to 0$, то $f(x)=O(x)$ при $x\to+\infty$.
Это следует из теоремы Лагранжа: Для любого $\varepsilon>0$ найдется $M>0$ такие, что при $x > x_0 > M$ верно неравенство $|f(x)-f(x_0)|=|f'(\xi)||x-x_0|< \varepsilon |x-x_0|$. Фиксируя какое-нибудь $\varepsilon>0$, а затем $x_0$, получаем утверждение.

Аналогично, если $f'(x)=O(x^n)$, то $f(x)=O(x^{n+1})$ при $x\to+\infty$.

Также пробовал сделать замену $g(x)=f(1/x)$. Тогда $g'(x)=-\frac{1}{x^2}f'(1/x)$, $g''(x)=\frac{2}{x^3}f'(1/x)+\frac{1}{x^4}f''(1/x)$ и т.д.

Но что дальше из этого можно вывести?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[xagiwo]

Если $f'''(x)$ близко к нулю на некотором не слишком большом интервале, что можно сказать про $f''(x)$, $f'(x)$ и, наконец, $f(x)$ на этом интервале?

[IvanX]

xagiwo в сообщении #1512321 писал(а):

Если $f'''(x)$ близко к нулю на некотором не слишком большом интервале, что можно сказать про $f''(x)$ ... на этом интервале?

Можно сказать, что колебание $f''(x)$ близко к нулю на этом интервале. Что еще можно сказать?

[demolishka]

IvanX в сообщении #1512216 писал(а):

Но можно утверждать следующее.

Так Вам про эту производную надо доказывать, а не следствия из этого выводить. Задача на формулу Тейлора.

Можно рассуждать так. Есть 4 производные: про две что-то известно и про две нужно что-то доказать. Пытаться постепенно пользоваться каким-то одним условием задачи или доказывать что-то только про одну производную — гиблое дело. Надо связать все четыре производные вместе. А это и есть формула Тейлора.

[mihaild]

Пусть первая производная не стремится к нулю, а, наоборот, сколь угодно далеко бывает больше $2$. Понятно что она не может быть больше $2$ на далеком отрезке длины больше $1$ (иначе $f$ на этом отрезке наберет $1$ роста), значит в $f'(x) > 2$ а $f'(x + y) < 1$ где $y < 1$. Но значит вторая производная где-то на этом отрезке не больше чем $-1$. Т.к. отрезок далекий, то третья производная на нём по модулю не больше одной миллионной, а значит вторая производная на отрезке $[x + y, x + y + 10]$ не больше чем $-\frac{1}{2}$. Ну и значит первая производная на отрезке $[x + y + 9, x + y + 10]$ не больше $-1$, а это опять плохо - $f$ на этом отрезке уменьшится хотя бы на $-1$.
Осталось это всё изложить строго, заменив константы на нужные переменные, и провести аналогичное (даже более простое) рассуждение для второй производной.

[xagiwo]

IvanX в сообщении #1512325 писал(а):

Можно сказать, что колебание $f''(x)$ близко к нулю на этом интервале. Что еще можно сказать?

Из того, как выглядит $f''(x)$ можно догадаться о том, как выглядит $f'(x)$.

[IvanX]

Кажется, понял.

[Padawan]

По совету demolishka.

$$ f(x+h)-f(x)=f'(x)h+f''(x)/2\cdot h^2+f'''(\xi)/6\cdot h^3 $$

Возьмите два фиксированных различных значения $h$ (например, $1$ и $2$). Устремите $x$ к бесконечности. Что куда стремится?