2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 18:26 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
$x, y \in N$ , $a(1)=x$ - первый элемент множества, выбираем любое натуральное число. Далее, множество строится по этим условиям :
$$\begin{cases}
a(n) \equiv 0 \mod(3) \, \to \, a(n+1)=\frac{a(n)}{3} \\
a(n) \equiv 1 \mod(3) \, \to \, a(n+1)=a(n)+2 \\
a(n) \equiv 2 \mod(3) \, \to \, a(n+1)=a(n)-1 \\
a(n)=2^y \, \to \, a(n+1)=\frac{a(n)}{2} \\
\end{cases}$$
1) Формулировка: Конечный элемент множества $a(n)$, при любом начальном $x$, будет равно единице.
2) Если доказать биективность всех элементов множеств a(n) со всеми элементами множеств $a(m)$ из гипотезы Коллатца, то думаю, это будет означать эквивалентность двух гипотез. Если доказать 1) , то будет считаться доказанной и гипотеза Коллатца. Как думаете, эквивалентно или нет, если нет то почему (если биекция существует)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 18:53 


21/05/16
4292
Аделаида
Чему равно $a(2)$ при $a(1)=4$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 18:56 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
$2^1$, далее $\frac{2}{2}=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 18:59 


21/05/16
4292
Аделаида
А почему не $a(2)=6$ по второй строке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:02 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
ну это отдельное условие такое, конечно, надо было указать "кроме случаев $a(n)=2^y$ для $(\mod 3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Как понимаю, у вас везде вместо «множество» надо читать «последовательность».

Soul Friend в сообщении #1512294 писал(а):
1) Формулировка: Конечный элемент множества $a(n)$, при любом начальном $x$, будет равно единице.
Что значит «конечный»? Надо читать это как «существует $n$ такое, что $a(n) = 1$»? А то дальше там будет 3, 1, 3, 1…

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:29 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
arseniiv в сообщении #1512309 писал(а):
Что значит «конечный»?

последний.
при достижении 1 остановить вычисление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:30 
Заслуженный участник


20/08/14
11356
Россия, Москва
Доказывается элементарно:
Расти число может только в одном случае, если $x\equiv 1 \pmod{3}$, при этом оно гарантированно становится $\equiv 0 \pmod{3}$ и на следующем шаге уменьшается втрое.
Потому какое бы число не взяли, максимум за два шага оно станет меньше себя самого.
Но бесконечно уменьшать числа нельзя, значит они все гарантированно свалятся к началу числового ряда.
Осталось проверить что будет для малых чисел.
Для $1$ будет цикл $1-3-1-3-1-\ldots$.
Для $2$ будет $2-1$ и далее тот же цикл.
Для $3$ будет сразу тот же цикл.
Для $4$ будет $4-2-1$ и снова тот же цикл.
Можно конечно ещё несколько проверить, но уже лишнее.
Ну и всё.

Если конечно забыть что никакого "конечного элемента множества" нет и в помине. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:32 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
arseniiv в сообщении #1512309 писал(а):
Как понимаю, у вас везде вместо «множество» надо читать «последовательность».

да, получается так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:36 
Заслуженный участник


20/08/14
11356
Россия, Москва
Soul Friend
Покажите хотя бы одно число, которое выдаёт последовательность с числами больше чем само оно плюс два?
А то без такого примера как-то совсем уж банально ...
И Коллатц вообще не при делах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:42 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40 в сообщении #1512317 писал(а):
И Коллатц вообще не при делах.

2) Про биекцию что вы думаете.

-- 31.03.2021, 22:45 --

Dmitriy40 в сообщении #1512311 писал(а):
"конечного элемента множества" нет и в помине. :mrgreen:

а если множество упорядочено ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:51 
Заслуженный участник


20/08/14
11356
Россия, Москва
Soul Friend
Вообще не понимаю что Вы под биективностью подразумеваете.
У Вас построение $a(n)$ зависит от выбора начального значения $a(1)=x$. Т.е. для разных $x$ будут вообще говоря разные последовательности. Ну и какую из них будете сравнивать с Коллатцом? И с каким именно, там ведь тоже зависимость от начального числа есть. Или для одинаковых начальных чисел? Уж поясняйте нормально, вторая Ваша тема и снова мало чего понятно из первого сообщения.
Это было первое.
Второе, у Вас последовательность не растёт (уж точно не более чем $x+2$, или жду хотя бы одного примера обратного), а Коллатц растёт неограниченно (вероятно, пока не доказано) — ну и? Чего тут биектировать то?! Конечное множество с вероятно бесконечным? Сами то понимаете глупость неразумность этого?

-- 31.03.2021, 19:55 --

Soul Friend в сообщении #1512320 писал(а):
Dmitriy40 в сообщении #1512311 писал(а):
"конечного элемента множества" нет и в помине. :mrgreen:
а если множество упорядочено ?
Так у Вас не множество, а последовательность.
Если Вы её превратите в множество, с исключением повторов, то получите некий набор чисел, не превышающий $x+2$. А Коллатц легко и непринуждённо выдаёт первым же "ходом" утроенное начальное число. И?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 19:59 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40 в сообщении #1512322 писал(а):
Ну и какую из них будете сравнивать с Коллатцом? И с каким именно,

Не отдельно взятые последовательности, а совокупность их всех со всеми. Я пока думаю над этим, как правильно передать мысль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 20:21 
Заслуженный участник


20/08/14
11356
Россия, Москва
Если второе условие переписать в виде $a_n \equiv 1 \pmod{3} \to a_{n+1}=\dfrac{a_n+2}{3}=\dfrac{a_n-1}{3}+1$, исключив промежуточное значение $a_n+2$, то ясно видно что так модифицированная последовательность вообще никогда не растёт. А значит не растёт и исходная, за исключением выброшенных $a_n+2$, не образующих растущих цепочек.
Что тут можно сравнивать с Коллатцем, непонятно. Ждём нормальных объяснений ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза эквивалентная гипотезе Коллатца
Сообщение31.03.2021, 21:19 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Обозначим гипотезу Коллатца как $3z+1$; $k=3z+1$;
$$
\begin{cases}
z\equiv 0 \, (\mod 3) \,  esli \, k\neq 2^{m_1} \, to \, \frac{3z+1}{2^{m_2}} \equiv 1 (\mod 3) \\
z\equiv 1 \,  (\mod 3) \, esli\,  k\neq 2^{m_1} \, to \, \frac{3z+1}{2^{m_2}} \equiv 1 (\mod 3) \\
z\equiv 2 \, (\mod 3) \, esli \, k\neq 2^{m_1} \, to \, \frac{3z+1}{2^{m_2}} \equiv 1 (\mod 3) \\
k=2^m\equiv 1 \, (\mod 3) \, to \,  skatyvaemsya \,  do \, 1.
\end{cases}
$$
Отпуская (упрощая) все умножения на $3$ (ведь если $k\neq 2^m$, то всё равно получаем нечётные числа), упрощаем (заменяем) $3z+1$ на условия в начале темы.

p.s: я вспешке мог что то неправильно посчитать. Сейчас перепроверяю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group