Гравитационное поле внутри массивной сферы

[epros]

realeugene в сообщении #1511912 писал(а):

Что предельный переход к бесконечно тонкому слою по произвольному, но центральносимметричному распределению некоторого количества материи приводит к именно такому условию сшивки.

Предельный переход может приводить к чему угодно. В том числе к тому, что внутренности не сошьются со внешностью ни в каком смысле.

[realeugene]

epros в сообщении #1511914 писал(а):

Предельный переход может приводить к чему угодно. В том числе к тому, что внутренности не сошьются со внешностью ни в каком смысле.

Если предельный переход может привести к чему угодно, то для физики он бесполезен.

[epros]

realeugene в сообщении #1511916 писал(а):

Если предельный переход может привести к чему угодно, то для физики он бесполезен.

Поэтому мы выбираем только такие предельные переходы, которые соответствуют заданным условиям сшивки.

[realeugene]

epros в сообщении #1511920 писал(а):

Поэтому мы выбираем только такие предельные переходы, которые соответствуют заданным условиям сшивки.

Это бессмысленно. Независимость результата от пути предельного перехода означает, что этот путь можно проигнорировать. Если мы пришли к некоторому состоянию - метрика быдет одинаковая. Если же метрика зависит не только от некоторого текущего состояния материи, но и от пути, которым мы привели материю к этому состоянию, то всё плохо. Нет, я уверен, что это условие сшивки не берётся аксиоматически, а каким-то образом обосновывается.

[epros]

realeugene в сообщении #1511922 писал(а):

Это бессмысленно. Независимость результата от пути предельного перехода означает, что этот путь можно проигнорировать

Речь не о пути перехода, а о его результатах.

realeugene в сообщении #1511922 писал(а):

Нет, я уверен, что это условие сшивки не берётся аксиоматически, а каким-то образом обосновывается.

Каким же образом? Я же сказал, это условие означает ни что иное, как равенство длин линий, проведённых изнутри и снаружи поверхности.

[realeugene]

epros в сообщении #1511923 писал(а):

Речь не о пути перехода, а о его результатах.

Если результат зависит от пути предельного перехода, то речь и про путь.

epros в сообщении #1511923 писал(а):

Каким же образом? Я же сказал, это условие означает ни что иное, как равенство длин линий, проведённых изнутри и снаружи поверхности.

Не знаю. Нужно внимательно читать МТУ, наверное. Но условие само по себе не очевидно.

[Someone]

realeugene в сообщении #1511866 писал(а):

Но, повторюсь: если метрика может быть разрывной, то и статья китайцев, ссылку на которую выложил уважаемый physicsworks, ошибочна.

Я не понимаю, что именно разрывно при переходе через поверхность склейки. Если Вы говорите о разрывности компонент метрического тензора, то это является бессмысленным утверждением. По тривиальной причине: координаты по разные стороны от поверхности склейки разные. Если мы смотрим на формулы

Someone в сообщении #894305 писал(а):

$$ds^2=\begin{cases}\left(1-\frac{r_g}{r_1}\right)c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }0\leqslant r\leqslant r_1,\\ \left(1-\frac{r_g}r\right)c^2dt^2-\frac 1{1-\frac{r_g}r}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }r>r_1.\end{cases}\eqno(27)$$

Здесь коэффициент $g_{11}=-e^{\lambda}$ имеет разрыв на поверхности склейки $r=r_1$.

и думаем, что одинаково обозначенные координаты в этих двух строках — это одна и та же координата, то действительно у нас $g_{11}$ имеет разрыв при $r=r_1$. Однако, думая так, мы обманываем сами себя (и я не исключение). На самом деле надо было бы написать как-нибудь так:

$$ds^2=\begin{cases}\left(1-\frac{r_g}{r_1}\right)c^2d\tau^2-d\rho^2-\rho^2(d\alpha^2+\sin^2\alpha d\beta^2)\text{ при }0\leqslant\rho\leqslant r_1,\\ \left(1-\frac{r_g}r\right)c^2dt^2-\frac 1{1-\frac{r_g}r}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }r>r_1.\end{cases}\eqno(27')$$

И объяснить при этом, что на поверхности склейки выполняются равенства $r=\rho=r_1$, $t=\tau$, $\theta=\alpha$, $\varphi=\beta$.

Это, на самом деле, очень простой случай. В общем случае поверхность склейки в каждой из областей задаётся какими-то уравнениями $F_-(\tau,\rho,\alpha,\beta)=0$ и $F_+(t,r,\theta,\varphi)=0$, а координаты одной стороны для точек этой поверхности выражаются через координаты другой стороны некоторыми функциями типа $t=f_1(\tau,\rho,\alpha,\beta)$, $r=f_2(\tau,\rho,\alpha,\beta)$, $\theta=f_3(\tau,\rho,\alpha,\beta)$, $\varphi=f_4(\tau,\rho,\alpha,\beta)$. Как Вы там будете определять, непрерывны метрические коэффициенты или разрывны, я уж и не знаю. Уравнения связи действуют только на поверхности склейки, а их продолжения в окрестность этой поверхности сильно неоднозначны. Например если в формулах (27) в области $r>r_1$ вместо координаты $r$ ввести другую координату

$$\tilde r=r_1+\int\limits_{r_1}^r\frac{dp}{\sqrt{1-\frac{r_g}p}}$$

(и для "упрощения обозначений" обозначить её снова буквой $r$), то получим $g_{11}=-1$ при всех $r\geqslant 0$.

realeugene в сообщении #1511922 писал(а):

Нет, я уверен, что это условие сшивки не берётся аксиоматически, а каким-то образом обосновывается.

Следующий логичный шаг — вместо продолжения споров взять учебник и посмотреть, как обстоят дела на самом деле. Например, МТУ, том 2, § 21.13.

[epros]

realeugene в сообщении #1511928 писал(а):

Если результат зависит от пути предельного перехода, то речь и про путь.

Нет, не зависит. Речь о самом пределе.

realeugene в сообщении #1511928 писал(а):

Но условие само по себе не очевидно.

А что тут ещё должно быть очевидно? Вот у нас есть полуплоскость $X$ и в совершенно другой Вселенной - полуплоскость $Y$. На границе полуплоскости $X$ находятся точки $A_X$ и $B_X$, а на границе полуплоскости $Y$ находятся точки $A_Y$ и $B_Y$. Но внезапно некто нам заявляет, что точки $A_X$ и $A_Y$ - на самом деле одна и та же точка, и точки $B_X$ и $B_Y$ - на самом деле одна и та же точка, потому что эти полуплоскости - части одной плоскости.

Готовы ли Вы в это поверить, если расстояние $|A_X,B_X|$ равно 1 метру, а расстояние $|A_Y,B_Y|$ равно 10 метрам?

[schekn]

Цитата:

epros в сообщении #1511908 писал(а):

schekn в сообщении #1511906

писал(а):

Так я и спрашивал, почему данная процедура сшивки совпадает с непрерывностью метрических компонент для стандартной метрики Шварцшильда.

Цитата:

Не совпадает.

Совпадает в смысле, что именно так делают в пар 100 ЛЛ-2. Непрервыность $g_{rr}$ на границе и далее они получают важное соотношение между массой $m$ и компонентлй $T_{0}^{0}$.

[realeugene]

epros в сообщении #1511936 писал(а):

Но внезапно некто нам заявляет, что точки $A_X$ и $A_Y$ - на самом деле одна и та же точка, и точки $B_X$ и $B_Y$ - на самом деле одна и та же точка

А вот нифига. Эта плоскость не принадлежит ни одной Вселенной. Карты должны быть открытыми множествами. Рассматриваемая граница не принадлежит ни одной карте и образуют отдельную Вселенную меньшей размерности. То, что у оболочки есть какая-то внутренняя метрика - это уже сам по себе нетривиальный факт.

Someone в сообщении #1511929 писал(а):

Как Вы там будете определять, непрерывны метрические коэффициенты или разрывны, я уж и не знаю.

Это хороший вопрос. В случае сферической оболочки, с одной стороны, локальная ИСО неподвижна, а с другой - падает на оболочку с ускорением. И как их сшивать осмысленно?

[epros]

schekn в сообщении #1511939 писал(а):

Совпадает в смысле, что именно так делают в пар 100 ЛЛ-2. Непрервыность $g_{rr}$ на границе и далее они получают важное соотношение между массой $m$ и компонентлй $T_{0}^{0}$.

Ещё раз: Данная процедура сшивки не совпадает с непрерывностью метрических компонент.

realeugene в сообщении #1511943 писал(а):

А вот нифига. Эта плоскость не принадлежит ни одной Вселенной. Карты должны юыть открытыми множествами. Рассматриваемая граница не принадлежит ни одной карте и образуют отдельную Вселенную меньшей размерности

Это символ Вашей веры? Считайте, что граница каждой полуплоскости принадлежит этой полуплоскости по определению.

realeugene в сообщении #1511943 писал(а):

В случае сферической оболочки, с одной стороны, локальная ИСО неподвижна, а с другой - падает на оболочку с ускорением. И как их сшивать осмысленно?

Никак не сшивать. Понятие локальной ИСО на оболочке не имеет смысла.

[realeugene]

epros в сообщении #1511944 писал(а):

Это символ Вашей веры? Считайте, что граница каждой полуплоскости принадлежит этой полуплоскости по определению.

Это определение многообразия из Википедии. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%B8%D0%B5 То, что карта должна быть открытым множеством - да, откуда-то это помню.

[epros]

realeugene в сообщении #1511948 писал(а):

Это определение многообразия из Википедии. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%B8%D0%B5 То, что карта должна быть открытым множеством - да, откуда-то это помню.

Да наплевать. Просто дополним открытое множество его замыканием, чему не могут помешать никакие определения.

Кстати, причём тут карты? Я ни слова не сказал о координатах. Речь была всего лишь о полуплоскостях и о том, совпадают ли их границы или состоят из "разных" точек.

[Someone]

realeugene в сообщении #1511943 писал(а):

Карты должны быть открытыми множествами.

У нас многообразия с краем. Поэтому некоторые карты тоже должны иметь край.

[realeugene]

Someone в сообщении #1511954 писал(а):

Поэтому некоторые карты тоже должны иметь край.

А согласно базовому определению из учебника, не могут они иметь края: карта - это гомеоморфизм открытого множества топологического пространства в область $R^n$. Видимо, многообразия с краем - это из какой-то топологии следующего уровня. Насколько я помню, при гомеоморфизме граница переходит в границу, а область - это открытое множество.

PS да, это называется "мanifold with boundary", для них у точек края требуется существование окрестностей, гомеоморфных полушару.