Гипотеза существования простых близнецов на отрезке

[Soul Friend]

Между $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы, $n$ - индекс простого числа, существует хотя бы одна пара простых чисел близнецов.
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.
Условно назовём функцию вычисления количества простых близнецов на отрезке $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы,функцией от

$$\Psi_2(p_n)$$

.
Множество, состоящее из вычислений этой функции начинается так $\{2, 3, 4, 3, 2, ...\}$

[Otta]

А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?

[Soul Friend]

Можно, методом решета Эратосфена.

[Dmitriy40]

У меня множество получилось другим (в 5-м элементе):

? pp=1; forprime(p=2,200,if(p-pp==2, print1(pp,"*",p,"...",p,"*",nextprime(p+1),": "); system(Strexpand("primesieve.x64con.exe ",pp,"*",p," ",p,"*",nextprime(p+1)," -q -c2")));pp=p);
3*5...5*7: Twin primes: 2
5*7...7*11: Twin primes: 3
11*13...13*17: Twin primes: 4
17*19...19*23: Twin primes: 3
29*31...31*37: Twin primes: 5
41*43...43*47: Twin primes: 6
59*61...61*67: Twin primes: 9
71*73...73*79: Twin primes: 11
101*103...103*107: Twin primes: 8
107*109...109*113: Twin primes: 12
137*139...139*149: Twin primes: 24
149*151...151*157: Twin primes: 19
179*181...181*191: Twin primes: 34
191*193...193*197: Twin primes: 14
197*199...199*211: Twin primes: 27

В OEIS его похоже нет.

[Soul Friend]

Dmitriy40
спасибо за код, надеялся, ждал )

а я вот мучался с pari/gp , написал код, а он не хочет вычислять :

? {b=0; for(n=1,100, if(prime(n+1)-prime(n)==2, for(m=1,1000, if(isprime(prime(n+1)*prime(n)+m)==1&&isprime(prime(n+1)*prime(n)+m+2)==1&&prime(n+1)*prime(n)+m<prime(n+1)*prime(n+2), b=b++; if(prime(n+1)*prime(n)+m>prime(n+1)*prime(n+2), print(" ", prime(n), "; ", b); b=0)))))}

Dmitriy40 в сообщении #1511578 писал(а):

В OEIS его похоже нет.

Можно я попытаюсь добавить ?

[Dmitriy40]

Я тоже хотел сначала на PARI/GP всё сделать, но потом запарился писать код для вычисления $\pi_2(a)-\pi_2(b)$ для относительно больших произвольных $a,b$ и вспомнил о уже готовой проге для вычисления близнецов в любом диапазоне (до $2^{64}$), осталось лишь её правильно вызвать и всё.

Soul Friend в сообщении #1511587 писал(а):

Можно я попытаюсь добавить ?

А чего меня-то спрашиваете, я там не модератор.

[Soul Friend]

Pari/GP code:

(Оффтоп)

 {a=0; b=0; c=0; for(n=1,150, if(prime(n+1)-prime(n)==2, a=prime(n)*prime(n+1); b=prime(n+1)*prime(n+2); for(m=a,b, if(isprime(m)==1&&isprime(m+2)==1, c=c+1));print("  prime(n)= ", prime(n), "; ", c); c=0))}
  prime(n)= 3; 2
  prime(n)= 5; 3
  prime(n)= 11; 4
  prime(n)= 17; 3
  prime(n)= 29; 5
  prime(n)= 41; 6
  prime(n)= 59; 9
  prime(n)= 71; 11
  prime(n)= 101; 8
  prime(n)= 107; 12
  prime(n)= 137; 24
  prime(n)= 149; 19
  prime(n)= 179; 34
  prime(n)= 191; 14
  prime(n)= 197; 27
  prime(n)= 227; 14
  prime(n)= 239; 28
  prime(n)= 269; 17
  prime(n)= 281; 46
  prime(n)= 311; 26
  prime(n)= 347; 24
  prime(n)= 419; 55
  prime(n)= 431; 28
  prime(n)= 461; 14
  prime(n)= 521; 86
  prime(n)= 569; 50
  prime(n)= 599; 38
  prime(n)= 617; 66
  prime(n)= 641; 28
  prime(n)= 659; 67
  prime(n)= 809; 76
  prime(n)= 821; 41
  prime(n)= 827; 64
  prime(n)= 857; 40

[Dmitriy40]

Куча лишней работы в циклах, что ясности не добавляет, но раз работает, то и ладно. За десятитысячные простые числа надеюсь его запускать не будут.

[Soul Friend]

Otta в сообщении #1511543 писал(а):

А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?

Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):

Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.

Вот если, для индукции, доказать что между двумя соседними парами простых близнецов найдётся хотя бы одно простое число, то явного перечисления простых чисел не потребуется.

[Dmitriy40]

Soul Friend в сообщении #1511657 писал(а):

Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):

Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.

Вот если, для индукции, доказать что между двумя соседними парами простых близнецов найдётся хотя бы одно простое число, то явного перечисления простых чисел не потребуется.

Как наличие простого между простыми близнецами поможет бесконечности последних?

[Soul Friend]

Вычисление множества от функции $\Psi_2(p_n)$ показывает на наличие не менее двух пар простых близнецов, что и требуется доказать для индукции. (в первом посте я писал что достаточно нахождения одной пары, но переосмыслил что для индукции потребуется две пары простых близнецов)

[Dmitriy40]

Вы не замечаете разницы в своих высказываниях между "простыми" и "простыми близнецами" и свободно меняете одно на другое что ли?
Сначала была индукция по простым близнецам, всё правильно, потом появилась по наличию простого между парами простых близнецов (а это вообще из другой оперы), теперь снова простые близнецы и снова ОК.
Ну и минимум одной пары мне кажется вполне достаточным.

[Soul Friend]

Dmitriy40

Dmitriy40 в сообщении #1511669 писал(а):

Сначала была индукция по простым близнецам, всё правильно, потом появилась по наличию простого между парами простых близнецов (а это вообще из другой оперы),

Вы не поняли, одно другого не отменяет, а наоборот, дополняет. Необходимо для индукции, чтобы не спрашивали о формуле простых чисел.
1) Доказать, что между двумя последовательными парами простых близнецов существует хотя бы одно простое число.
2) Доказать, что значение элементов множества от функции $\Psi_2(p_n)$ не меньше двух.
Далее уже идёт индукция и бесконечность простых близнецов.

Dmitriy40 в сообщении #1511669 писал(а):

Ну и минимум одной пары мне кажется вполне достаточным.

Огласите, пожалуйста, ваш алгоритм.

р.s: Хотя, достаточно доказать 2).

Для вычисления $\Psi_2(p_n)$ необходимо четыре простых числа, поэтому надо доказать наличие не менее двух пар простых близнецов.

[Dmitriy40]

"Мой" алгоритм, который вообще-то 100% Ваш.
Предположим что пара $\{p_n;p_n+2\}$ является парой простых близнецов.
Если гипотеза верна, то она превращает эту пару в некоторую другую пару близнецов, гарантированно бОльшую исходной. Условие превышения критично, но проверяется для начала последовательности прямо, а выполнение дальше доказывается банально.
Повторяя это превращение будем получать всё бОльшие и бОльшие простые пары близнецов.
Ну а бесконечность простых, которые нужны для каждого очередного превращения, и так доказана и ей можно смело пользоваться.
Всё собственно. Тупо повторение одного единственного шага. На каждом из которых достаточно существование одной следующей пары простых близнецов (и конечного простого).

Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов $\{p_n;p_n+2\}$ и доказанную гипотезу что в интервале пусть даже $p_n+2\ldots p_n^{10^{100}}$ (т.е. больше исходной пары) всегда существует ещё минимум одна пара простых близнецов, достаточно для их бесконечности.
Вопрос как гипотезу доказывать ...

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1511714 писал(а):

Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов $\{p_n;p_n+2\}$ и доказанную гипотезу что в интервале пусть даже $p_n+2\ldots p_n^{10^{100}}$ (т.е. больше исходной пары) всегда

Можно проще, воспользоваться доказанным фактом бесконечности простых чисел, тогда и одной пары простых близнецов будет достаточно.
Кстати, гипотеза немного слабее гипотезы Лежандра.