"Мой" алгоритм, который вообще-то 100% Ваш.
Предположим что пара
является парой простых близнецов.
Если гипотеза верна, то она превращает эту пару в некоторую другую пару близнецов, гарантированно бОльшую исходной. Условие превышения критично, но проверяется для начала последовательности прямо, а выполнение дальше доказывается банально.
Повторяя это превращение будем получать всё бОльшие и бОльшие простые пары близнецов.
Ну а бесконечность простых, которые нужны для каждого очередного превращения, и так доказана и ей можно смело пользоваться.
Всё собственно. Тупо повторение одного единственного шага. На каждом из которых достаточно существование одной следующей пары простых близнецов (и конечного простого).
Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов
и
доказанную гипотезу что в интервале пусть даже
(т.е. больше исходной пары) всегда существует ещё минимум одна пара простых близнецов, достаточно для их бесконечности.
Вопрос как гипотезу доказывать ...