2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 10:45 
Аватара пользователя
Между $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы, $n$ - индекс простого числа, существует хотя бы одна пара простых чисел близнецов.
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.
Условно назовём функцию вычисления количества простых близнецов на отрезке $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы,функцией от $$\Psi_2(p_n)$$.
Множество, состоящее из вычислений этой функции начинается так $\{2, 3, 4, 3, 2, ...\}$

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 10:51 
А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 11:11 
Аватара пользователя
Можно, методом решета Эратосфена.

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 13:05 
У меня множество получилось другим (в 5-м элементе):
Код:
? pp=1; forprime(p=2,200,if(p-pp==2, print1(pp,"*",p,"...",p,"*",nextprime(p+1),": "); system(Strexpand("primesieve.x64con.exe ",pp,"*",p," ",p,"*",nextprime(p+1)," -q -c2")));pp=p);
3*5...5*7: Twin primes: 2
5*7...7*11: Twin primes: 3
11*13...13*17: Twin primes: 4
17*19...19*23: Twin primes: 3
29*31...31*37: Twin primes: 5
41*43...43*47: Twin primes: 6
59*61...61*67: Twin primes: 9
71*73...73*79: Twin primes: 11
101*103...103*107: Twin primes: 8
107*109...109*113: Twin primes: 12
137*139...139*149: Twin primes: 24
149*151...151*157: Twin primes: 19
179*181...181*191: Twin primes: 34
191*193...193*197: Twin primes: 14
197*199...199*211: Twin primes: 27
В OEIS его похоже нет.

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 13:38 
Аватара пользователя
Dmitriy40
спасибо за код, надеялся, ждал )

а я вот мучался с pari/gp , написал код, а он не хочет вычислять :
Код:
? {b=0; for(n=1,100, if(prime(n+1)-prime(n)==2, for(m=1,1000, if(isprime(prime(n+1)*prime(n)+m)==1&&isprime(prime(n+1)*prime(n)+m+2)==1&&prime(n+1)*prime(n)+m<prime(n+1)*prime(n+2), b=b++; if(prime(n+1)*prime(n)+m>prime(n+1)*prime(n+2), print(" ", prime(n), "; ", b); b=0)))))}

Dmitriy40 в сообщении #1511578 писал(а):
В OEIS его похоже нет.

Можно я попытаюсь добавить ? :roll:

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 14:04 
Я тоже хотел сначала на PARI/GP всё сделать, но потом запарился писать код для вычисления $\pi_2(a)-\pi_2(b)$ для относительно больших произвольных $a,b$ и вспомнил о уже готовой проге для вычисления близнецов в любом диапазоне (до $2^{64}$), осталось лишь её правильно вызвать и всё.

Soul Friend в сообщении #1511587 писал(а):
Можно я попытаюсь добавить ?
А чего меня-то спрашиваете, я там не модератор. :mrgreen:

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 17:32 
Аватара пользователя
Pari/GP code:

(Оффтоп)

Код:
{a=0; b=0; c=0; for(n=1,150, if(prime(n+1)-prime(n)==2, a=prime(n)*prime(n+1); b=prime(n+1)*prime(n+2); for(m=a,b, if(isprime(m)==1&&isprime(m+2)==1, c=c+1));print("  prime(n)= ", prime(n), "; ", c); c=0))}
  prime(n)= 3; 2
  prime(n)= 5; 3
  prime(n)= 11; 4
  prime(n)= 17; 3
  prime(n)= 29; 5
  prime(n)= 41; 6
  prime(n)= 59; 9
  prime(n)= 71; 11
  prime(n)= 101; 8
  prime(n)= 107; 12
  prime(n)= 137; 24
  prime(n)= 149; 19
  prime(n)= 179; 34
  prime(n)= 191; 14
  prime(n)= 197; 27
  prime(n)= 227; 14
  prime(n)= 239; 28
  prime(n)= 269; 17
  prime(n)= 281; 46
  prime(n)= 311; 26
  prime(n)= 347; 24
  prime(n)= 419; 55
  prime(n)= 431; 28
  prime(n)= 461; 14
  prime(n)= 521; 86
  prime(n)= 569; 50
  prime(n)= 599; 38
  prime(n)= 617; 66
  prime(n)= 641; 28
  prime(n)= 659; 67
  prime(n)= 809; 76
  prime(n)= 821; 41
  prime(n)= 827; 64
  prime(n)= 857; 40

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 17:49 
Куча лишней работы в циклах, что ясности не добавляет, но раз работает, то и ладно. За десятитысячные простые числа надеюсь его запускать не будут.

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 18:35 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1511543 писал(а):
А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?


Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.

Вот если, для индукции, доказать что между двумя соседними парами простых близнецов найдётся хотя бы одно простое число, то явного перечисления простых чисел не потребуется.

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 19:13 
Soul Friend в сообщении #1511657 писал(а):
Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.
Вот если, для индукции, доказать что между двумя соседними парами простых близнецов найдётся хотя бы одно простое число, то явного перечисления простых чисел не потребуется.
Как наличие простого между простыми близнецами поможет бесконечности последних?

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 19:36 
Аватара пользователя
Вычисление множества от функции $\Psi_2(p_n)$ показывает на наличие не менее двух пар простых близнецов, что и требуется доказать для индукции. (в первом посте я писал что достаточно нахождения одной пары, но переосмыслил что для индукции потребуется две пары простых близнецов)

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 19:42 
Вы не замечаете разницы в своих высказываниях между "простыми" и "простыми близнецами" и свободно меняете одно на другое что ли?
Сначала была индукция по простым близнецам, всё правильно, потом появилась по наличию простого между парами простых близнецов (а это вообще из другой оперы), теперь снова простые близнецы и снова ОК.
Ну и минимум одной пары мне кажется вполне достаточным.

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 20:00 
Аватара пользователя
Dmitriy40
Dmitriy40 в сообщении #1511669 писал(а):
Сначала была индукция по простым близнецам, всё правильно, потом появилась по наличию простого между парами простых близнецов (а это вообще из другой оперы),

Вы не поняли, одно другого не отменяет, а наоборот, дополняет. Необходимо для индукции, чтобы не спрашивали о формуле простых чисел.
1) Доказать, что между двумя последовательными парами простых близнецов существует хотя бы одно простое число.
2) Доказать, что значение элементов множества от функции $\Psi_2(p_n)$ не меньше двух.
Далее уже идёт индукция и бесконечность простых близнецов.
Dmitriy40 в сообщении #1511669 писал(а):
Ну и минимум одной пары мне кажется вполне достаточным.

Огласите, пожалуйста, ваш алгоритм.

р.s: Хотя, достаточно доказать 2).

Для вычисления $\Psi_2(p_n)$ необходимо четыре простых числа, поэтому надо доказать наличие не менее двух пар простых близнецов.

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 23:54 
"Мой" алгоритм, который вообще-то 100% Ваш.
Предположим что пара $\{p_n;p_n+2\}$ является парой простых близнецов.
Если гипотеза верна, то она превращает эту пару в некоторую другую пару близнецов, гарантированно бОльшую исходной. Условие превышения критично, но проверяется для начала последовательности прямо, а выполнение дальше доказывается банально.
Повторяя это превращение будем получать всё бОльшие и бОльшие простые пары близнецов.
Ну а бесконечность простых, которые нужны для каждого очередного превращения, и так доказана и ей можно смело пользоваться.
Всё собственно. Тупо повторение одного единственного шага. На каждом из которых достаточно существование одной следующей пары простых близнецов (и конечного простого).

Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов $\{p_n;p_n+2\}$ и доказанную гипотезу что в интервале пусть даже $p_n+2\ldots p_n^{10^{100}}$ (т.е. больше исходной пары) всегда существует ещё минимум одна пара простых близнецов, достаточно для их бесконечности.
Вопрос как гипотезу доказывать ...

 
 
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение28.03.2021, 04:31 
Аватара пользователя
Dmitriy40 в сообщении #1511714 писал(а):
Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов $\{p_n;p_n+2\}$ и доказанную гипотезу что в интервале пусть даже $p_n+2\ldots p_n^{10^{100}}$ (т.е. больше исходной пары) всегда

Можно проще, воспользоваться доказанным фактом бесконечности простых чисел, тогда и одной пары простых близнецов будет достаточно.
Кстати, гипотеза немного слабее гипотезы Лежандра.

 
 
 [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group