2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 10:45 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Между $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы, $n$ - индекс простого числа, существует хотя бы одна пара простых чисел близнецов.
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.
Условно назовём функцию вычисления количества простых близнецов на отрезке $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы,функцией от $$\Psi_2(p_n)$$.
Множество, состоящее из вычислений этой функции начинается так $\{2, 3, 4, 3, 2, ...\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 10:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 11:11 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Можно, методом решета Эратосфена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 13:05 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
У меня множество получилось другим (в 5-м элементе):
Код:
? pp=1; forprime(p=2,200,if(p-pp==2, print1(pp,"*",p,"...",p,"*",nextprime(p+1),": "); system(Strexpand("primesieve.x64con.exe ",pp,"*",p," ",p,"*",nextprime(p+1)," -q -c2")));pp=p);
3*5...5*7: Twin primes: 2
5*7...7*11: Twin primes: 3
11*13...13*17: Twin primes: 4
17*19...19*23: Twin primes: 3
29*31...31*37: Twin primes: 5
41*43...43*47: Twin primes: 6
59*61...61*67: Twin primes: 9
71*73...73*79: Twin primes: 11
101*103...103*107: Twin primes: 8
107*109...109*113: Twin primes: 12
137*139...139*149: Twin primes: 24
149*151...151*157: Twin primes: 19
179*181...181*191: Twin primes: 34
191*193...193*197: Twin primes: 14
197*199...199*211: Twin primes: 27
В OEIS его похоже нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 13:38 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40
спасибо за код, надеялся, ждал )

а я вот мучался с pari/gp , написал код, а он не хочет вычислять :
Код:
? {b=0; for(n=1,100, if(prime(n+1)-prime(n)==2, for(m=1,1000, if(isprime(prime(n+1)*prime(n)+m)==1&&isprime(prime(n+1)*prime(n)+m+2)==1&&prime(n+1)*prime(n)+m<prime(n+1)*prime(n+2), b=b++; if(prime(n+1)*prime(n)+m>prime(n+1)*prime(n+2), print(" ", prime(n), "; ", b); b=0)))))}

Dmitriy40 в сообщении #1511578 писал(а):
В OEIS его похоже нет.

Можно я попытаюсь добавить ? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 14:04 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Я тоже хотел сначала на PARI/GP всё сделать, но потом запарился писать код для вычисления $\pi_2(a)-\pi_2(b)$ для относительно больших произвольных $a,b$ и вспомнил о уже готовой проге для вычисления близнецов в любом диапазоне (до $2^{64}$), осталось лишь её правильно вызвать и всё.

Soul Friend в сообщении #1511587 писал(а):
Можно я попытаюсь добавить ?
А чего меня-то спрашиваете, я там не модератор. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 17:32 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Pari/GP code:

(Оффтоп)

Код:
{a=0; b=0; c=0; for(n=1,150, if(prime(n+1)-prime(n)==2, a=prime(n)*prime(n+1); b=prime(n+1)*prime(n+2); for(m=a,b, if(isprime(m)==1&&isprime(m+2)==1, c=c+1));print("  prime(n)= ", prime(n), "; ", c); c=0))}
  prime(n)= 3; 2
  prime(n)= 5; 3
  prime(n)= 11; 4
  prime(n)= 17; 3
  prime(n)= 29; 5
  prime(n)= 41; 6
  prime(n)= 59; 9
  prime(n)= 71; 11
  prime(n)= 101; 8
  prime(n)= 107; 12
  prime(n)= 137; 24
  prime(n)= 149; 19
  prime(n)= 179; 34
  prime(n)= 191; 14
  prime(n)= 197; 27
  prime(n)= 227; 14
  prime(n)= 239; 28
  prime(n)= 269; 17
  prime(n)= 281; 46
  prime(n)= 311; 26
  prime(n)= 347; 24
  prime(n)= 419; 55
  prime(n)= 431; 28
  prime(n)= 461; 14
  prime(n)= 521; 86
  prime(n)= 569; 50
  prime(n)= 599; 38
  prime(n)= 617; 66
  prime(n)= 641; 28
  prime(n)= 659; 67
  prime(n)= 809; 76
  prime(n)= 821; 41
  prime(n)= 827; 64
  prime(n)= 857; 40

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 17:49 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Куча лишней работы в циклах, что ясности не добавляет, но раз работает, то и ладно. За десятитысячные простые числа надеюсь его запускать не будут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 18:35 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Otta в сообщении #1511543 писал(а):
А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?


Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.

Вот если, для индукции, доказать что между двумя соседними парами простых близнецов найдётся хотя бы одно простое число, то явного перечисления простых чисел не потребуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 19:13 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Soul Friend в сообщении #1511657 писал(а):
Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):
Если это доказать, то по индукции следует бесконечность простых близнецов.
Вот если, для индукции, доказать что между двумя соседними парами простых близнецов найдётся хотя бы одно простое число, то явного перечисления простых чисел не потребуется.
Как наличие простого между простыми близнецами поможет бесконечности последних?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 19:36 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Вычисление множества от функции $\Psi_2(p_n)$ показывает на наличие не менее двух пар простых близнецов, что и требуется доказать для индукции. (в первом посте я писал что достаточно нахождения одной пары, но переосмыслил что для индукции потребуется две пары простых близнецов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 19:42 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Вы не замечаете разницы в своих высказываниях между "простыми" и "простыми близнецами" и свободно меняете одно на другое что ли?
Сначала была индукция по простым близнецам, всё правильно, потом появилась по наличию простого между парами простых близнецов (а это вообще из другой оперы), теперь снова простые близнецы и снова ОК.
Ну и минимум одной пары мне кажется вполне достаточным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 20:00 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40
Dmitriy40 в сообщении #1511669 писал(а):
Сначала была индукция по простым близнецам, всё правильно, потом появилась по наличию простого между парами простых близнецов (а это вообще из другой оперы),

Вы не поняли, одно другого не отменяет, а наоборот, дополняет. Необходимо для индукции, чтобы не спрашивали о формуле простых чисел.
1) Доказать, что между двумя последовательными парами простых близнецов существует хотя бы одно простое число.
2) Доказать, что значение элементов множества от функции $\Psi_2(p_n)$ не меньше двух.
Далее уже идёт индукция и бесконечность простых близнецов.
Dmitriy40 в сообщении #1511669 писал(а):
Ну и минимум одной пары мне кажется вполне достаточным.

Огласите, пожалуйста, ваш алгоритм.

р.s: Хотя, достаточно доказать 2).

Для вычисления $\Psi_2(p_n)$ необходимо четыре простых числа, поэтому надо доказать наличие не менее двух пар простых близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение27.03.2021, 23:54 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
"Мой" алгоритм, который вообще-то 100% Ваш.
Предположим что пара $\{p_n;p_n+2\}$ является парой простых близнецов.
Если гипотеза верна, то она превращает эту пару в некоторую другую пару близнецов, гарантированно бОльшую исходной. Условие превышения критично, но проверяется для начала последовательности прямо, а выполнение дальше доказывается банально.
Повторяя это превращение будем получать всё бОльшие и бОльшие простые пары близнецов.
Ну а бесконечность простых, которые нужны для каждого очередного превращения, и так доказана и ей можно смело пользоваться.
Всё собственно. Тупо повторение одного единственного шага. На каждом из которых достаточно существование одной следующей пары простых близнецов (и конечного простого).

Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов $\{p_n;p_n+2\}$ и доказанную гипотезу что в интервале пусть даже $p_n+2\ldots p_n^{10^{100}}$ (т.е. больше исходной пары) всегда существует ещё минимум одна пара простых близнецов, достаточно для их бесконечности.
Вопрос как гипотезу доказывать ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза существования простых близнецов на отрезке
Сообщение28.03.2021, 04:31 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40 в сообщении #1511714 писал(а):
Кстати в плане доказательства бесконечности близнецов от третьего простого можно и отказаться, просто взять в качестве правой границы степень побольше любого из чисел пары.
Фактически имея лишь пару простых близнецов $\{p_n;p_n+2\}$ и доказанную гипотезу что в интервале пусть даже $p_n+2\ldots p_n^{10^{100}}$ (т.е. больше исходной пары) всегда

Можно проще, воспользоваться доказанным фактом бесконечности простых чисел, тогда и одной пары простых близнецов будет достаточно.
Кстати, гипотеза немного слабее гипотезы Лежандра.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group