метод математической индукции

[home-mik]

vpb в сообщении #1510631 писал(а):

home-mik
Я вот такую вещь заметил среди участников форума. У изучающих математику самостоятельно их познавательная активность часто заезжает на совершенно побочную колею, а именно: преувеличенного интереса к матлогике, основаниям, теории множеств, а в последнее время и теории категорий.

Так ее туда "заезжают" Вон у меня еще книжка лежит "Основания языков программирования" Митчелл. Там чуть ли не с первой главы теория множеств, парадокс Рассела.. Ну и приехали.. в основания математики) Хотя начал вроде с программирования.

Нет, чисто теоретически это легко объяснить: если математик может сказать, что мне это очевидно и пойти дальше, то с ЭВМ такой номер не прокатит - ей ничего не очевидно, и все надо разбирать до самых элементарных кирпичиков, рефлексировать каждый свой мыслительный шаг на предмет того, как это объяснить машине, которая "знает" только примитивные операции типа записать/считать. Все равно, что матан объяснять грудничку или детсадовцу) Ну вот и упираешься в основания своего собственного мышления и как следствие математики, теории доказательств и пр. С тем же школьником уже проще, потому что куда больше жизненного опыта и ему уже куда больше очевидно, и можно уже некоторые логические шаги не прорабатывать, а просто опускать, ссылаясь на это самое "очевидно", сокращая объяснение, доказательство.

Но так или иначе, спасибо за предупреждение - я сам стараюсь следить, чтобы не вылезти из практического русла и не слететь на бессмысленное теоретизирование, "игру в бисер" (скажем в "Науке логики" Гегеля я даже и не подумаю разбираться )

-- 24.03.2021, 09:32 --

arseniiv в сообщении #1510698 писал(а):

Кстати это напомнило мне добавить, что иногда есть нужда в индуктивном доказательстве сразу нескольких утверждений (или рекурсивном определении нескольких объектов; ну это уже можно наверно не оговаривать) о нескольких множествах, элементы которых строятся через друг друга (то есть эти множества определены взаимно индуктивно). Например представим себе такие множества строк $A, B$ (пример немного искусственный, лень искать хороший), для которых:
- $\mathtt A \in A$;
- для всех $b \in B$, $bb \in A$;
- $\mathtt B \in B$
- для всех $a_1, a_2 \in A$, $a_1 \mathtt C a_2 \in B$;
- и никаких других элементов в $A, B$ нет.

Скажем, мы хотим доказать, что в любой строке $a \in A$ букв $\mathtt C$ меньше половины. Нам это удастся очень просто, если мы согласимся доказывать это одновременно с доказательством, что в $b \in B$ наблюдается то же (вообще обычно мы будем доказывать разные утверждения, но тут мне лень было думать и получается одно и то же для обоих множеств), а именно всё выйдет вот так:
- очевидно, что в $\mathtt A$ букв $\mathtt C$ ноль, меньше $1/2$;
- если в $b$ букв $\mathtt C$ меньше половины, то же верно и для $bb$;
- очевидно и для $\mathtt B$;
- если в $a_1, a_2$ букв $\mathtt C$ по $n_1, n_2$, то в $b := a_1 \mathtt C a_2$ их $n = n_1 + n_2 + 1$; так как $n_1 + n_2 < \frac12(|a_1| + |a_2|)$, то $n < \frac12 (|a_1| + |a_2|) + 1$, и т. к. $n$ целое, это даёт нам сказать и $n < \frac12 (|a_1| + |a_2| + 1) = \frac12 |b|$. Всё!

Мне дня два наверное придется разбирать, что тут к чему В любом случае большое спасибо за пример - надо разбираться. Я смотрю, эта индукция - фундаментальная штука.

[epros]

home-mik в сообщении #1510736 писал(а):

Я смотрю, эта индукция - фундаментальная штука.

А то! Одна из формулировок аксиомы индукции неформально звучит так: "Нет других натуральных чисел (кроме тех, которые являются последователями единички)". Но проблема в том, что эта аксиома - второго порядка, а поэтому в логике первого порядка её полноценным образом сформулировать невозможно. Из-за этого в арифметике первого порядка возникает такой забавный феномен, как "нестандартные числа" - это такие натуральные числа, которые больше любых стандартных. Вот для этих нестандартных чисел могут оказаться ложными некоторые утверждения, которые верны для всех стандартных чисел, а значит, казалось бы, к таким утверждениям должна быть применима индукция. Но, увы, нет такого стандартного числа, за которым непосредственно следует нестандартное, а поэтому переход по индукции к нестандартным числам невозможен.

[Lia]

home-mik
Выделенный текст можно процитировать кнопкой "Вставка". Замечание за настойчивый оверквотинг.

[vpb]

home-mik в сообщении #1510736 писал(а):

я сам стараюсь следить, чтобы не вылезти из практического русла

Вот и правильно. Пока за этим следите, излишние абстракции не страшны.

Я.Гашек писал(а):

Правильно было когда-то сказано, что человек, получивший здоровое воспитание, может читать всё.

(это он насчет упреков критики в том, что персонажи "Похождений Швейка" часто выражаются чересчур грубым языком). Хотя надо иметь в виду, что книжки тоже бывают более заумные и менее.