Гравитационное поле внутри массивной сферы

[realeugene]

Dmitriy40 в сообщении #1510790 писал(а):

И значит поле должно быть "сильнее" чем просто от той же массы.

Нет, не должно. Это всё может (и мне кажется, должно) компенсироваться. Вакуумное симметричное решение единственно - это Шварцшильд в подходящих координатах. Именно поэтому нет сферически-симметричных гравволн, и, поэтому, радиальные движения сферически симметричной материи не чувствуются в метрике снаружи. То есть, вопрос только в сшивке шварцшильдов внутри и снаружи через массивную оболочку.

-- 24.03.2021, 13:31 --

epros в сообщении #1510793 писал(а):

ТЭИ на тонком слое выражается через дельта-функцию, без чёрной дыры.

В чёрной дыре ТЭИ в сингулярности тоже можно описать дельта-функцией. Но что с ней дальше делать?

[epros]

realeugene в сообщении #1510791 писал(а):

Конечно же сошьются, просто, область сшивки будет наклонена во времени.

Координаты Минковского не сошьются с координатами Шварцшильда даже в статическом случае. Хотя бы потому, что длина большой окружности тут уже не равна $2 \pi r$.

realeugene в сообщении #1510794 писал(а):

В чёрной дыре ТЭИ в сингулярности тоже можно описать дельта-функцией. Но что с ней дальше делать?

В чёрной дыре в сингулярности нет ни ТЭИ, ни даже точки псевдориманова многообразия. А на слое малой толщины, имеющем конечную массу в расчёте на единицу площади, нет сингулярности, хотя есть дельта-функция в формуле ТЭИ.

[realeugene]

epros в сообщении #1510796 писал(а):

В чёрной дыре в сингулярности нет ни ТЭИ, ни даже точки псевдориманова многообразия.

Ага. Существование или несуществование обобщённого ТЭИ зависит от существования или несуществования метрики для такого ТЭИ. Хорошо. Тонкая массивная оболочка даёт скачок ускорения свободного падения. То есть, символы Кристоффеля разрывны на оболочке. То есть, тензор Римана содержит дельта-функции и произведения скачков. Наверное, это ещё законно, и уравнения Эйнштейна сойдутся, дав подходящую метрику, дифференцируемую дважды только в обобщённом смысле.

-- 24.03.2021, 14:24 --

epros в сообщении #1510796 писал(а):

Хотя бы потому, что длина большой окружности тут уже не равна $2 \pi r$.

У Шварцшильда $r$ как раз такое $r$, что даёт длину окружности именно $2 \pi r$.

[Geen]

epros в сообщении #1510786 писал(а):

Для этого метрика на сфере должна быть непрерывной

Можно ссылку на учебник с обоснованием этого утверждения? И не путаете ли Вы "непрерывность метрики" с "непрерывностью координат"?

Потому что я могу выбрать произвольное количество карт с произвольной областью определения и произвольными координатами на ней.
И даже "сшивка" по "границе карт" вполне стандартный приём в диффгеме и не требует никакой "непрерывности" самих координат.

[epros]

realeugene в сообщении #1510802 писал(а):

Наверное, это ещё законно, и уравнения Эйнштейна сойдутся, дав подходящую метрику, дифференцируемую дважды только в обобщённом смысле

Почему бы и нет. Это всего лишь предельный случай для слоя конечной толщины.

realeugene в сообщении #1510802 писал(а):

У Шварцшильда $r$ как раз такое $r$, что даёт длину окружности именно $2 \pi r$.

Э-ммм. Тут вопрос в том, что такое $r$. Поэтому переформулирую так: Если $2 \pi r$ - длина большой окружности сферы, то расстояние до её центра не будет равно $r$.

Geen в сообщении #1510803 писал(а):

И не путаете ли Вы "непрерывность метрики" с "непрерывностью координат"?

Конечно путаю, ибо непрерывность координат в данном случае самостоятельного смысла не имеет. Раз уж мы так или иначе хотим построить общую координатную сетку для снаружи и внутри сферы.

Geen в сообщении #1510803 писал(а):

Потому что я могу выбрать произвольное количество карт с произвольной областью определения и произвольными координатами на ней.
И даже "сшивка" по "границе карт" вполне стандартный приём в диффгеме и не требует никакой "непрерывности" самих координат.

Если Вы про тот приём, который предложили в статье по ссылке - при преобразовании к координатам на границе метрика снаружи и внутри должна совпасть, то так тоже годится. Но всё-таки хотелось бы видеть единое решение, а не некое соединение двух совершенно разных. Ибо для такого соединения сложновато проверять выполнение уравнений Эйнштейна на самой границе.

[realeugene]

epros в сообщении #1510811 писал(а):

Если $2 \pi r$ - длина большой окружности сферы, то расстояние до её центра не будет равно $r$.

Если внутри Минковский - то будет. А Шварцшильд снаружи знает расстояние до центра только со слов Минковского.

[Geen]

epros в сообщении #1510811 писал(а):

Ибо для такого соединения сложновато проверять выполнение уравнений Эйнштейна на самой границе.

Это уже сделано, и давно - уравнение Ланцоша.
(прошу прощения за битые ссылки - книга Э.Пуассона ушла в печать и pdf-ка с лекциями более не доступна; взамен https://youtube.com/playlist?list=PL7aX ... VuzLzYUZex - лекция 11)

epros в сообщении #1510811 писал(а):

Но всё-таки хотелось бы видеть единое решение

Зачем? если это создаёт ненужные сложности? - наблюдатели внутри сферы не чуствуют приливных сил и не наблюдают каких-либо иных изменений друг у друга - этому в точности соответствует обычный минковский.

-- 24.03.2021, 15:46 --

realeugene в сообщении #1510813 писал(а):

А Шварцшильд снаружи знает расстояние до центра только со слов Минковского.

Нет - путём измерения длины окружности (или площади сферы) - это именно что определение координаты $r$.

[epros]

realeugene в сообщении #1510813 писал(а):

А Шварцшильд снаружи знает расстояние до центра только со слов Минковского

Метрика на сфере:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}{R}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}{R}\right)} - R^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta~d\varphi^2).$$

Рассмотрим метрику:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}{R}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}{R}\right)} - \frac{\left(r - R + R\sqrt{1-\frac{r_g}{R}}\right)^2}{\left(1-\frac{r_g}{R}\right)} (d\theta^2 + \sin^2 \theta~d\varphi^2).$$

Заметим, что она:
1) Совпадает с первой метрикой при $r=R$.
2) Соответствует нулевой аффинной связности кривизны.
3) Имеет особенность (центр координат) при $r=R - R\sqrt{1-\frac{r_g}{R}}$.

Это означает, что расстояние от особенности (цента координат) до тяготеющей сферы равно $R\sqrt{1-\frac{r_g}{R}}$.

-- Ср мар 24, 2021 17:13:42 --

Geen в сообщении #1510816 писал(а):

Зачем? если это создаёт ненужные сложности?

Какие сложности?

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Я правильно понимаю вердикт: я задал вопрос ответ на который не пойму и потому глупый?
А то с подачи realeugene уже запутался в "парадоксах", типа "импульс входит в ТЭИ, но в сферически симметричном случае на поле не влияет". Как оно может взаимно компенсироваться если все добавки положительны не представляю.

[realeugene]

Geen в сообщении #1510816 писал(а):

Нет - путём измерения длины окружности (или площади сферы) - это именно что определение координаты $r$.

Определяет координату $r$, а расстояние до центра - это интеграл вдоль радиуса, и без Минковского расстояния по радиусу не равны $\Delta r$, как например, в Шварцшильде.

[epros]

epros в сообщении #1510822 писал(а):

Это означает, что расстояние от особенности (цента координат) до тяготеющей сферы равно $R\sqrt{1-\frac{r_g}{R}}$.

Пардон, это, конечно же, не расстояние, а диапазон координаты $r$ на пути от центра до сферы.
Расстояние-то всё равно будет $R$.

[realeugene]

epros в сообщении #1510822 писал(а):

Рассмотрим метрику:

Которая не является ваккумным решением уравнений Эйнштейна?

-- 24.03.2021, 16:47 --

Если внутри Шварцшильда Минковский, то расстояние до центра - это расстояние до границы внутри Шварцшильда плюс расстояние от границы до центра внутри Минковского. И ничего другого. При этом для стационарного решения предполагается интегрирование вдоль линии в один момент глобального времени.

[epros]

realeugene в сообщении #1510831 писал(а):

Которая не является ваккумным решением уравнений Эйнштейна?

Эта метрика соответствует нулевой связности кривизне, а значит является вакуумным решением уравнений Эйнштейна. Она также сшита с решением Шварцшильда по границе - тяготеющей сфере. Так что я Вам сейчас фактически выписал внутреннюю часть решения задачи тяготеющей статичной сферы радиуса $R$.

-- Ср мар 24, 2021 17:54:29 --

Как видите, это не "координаты Минковского".

[realeugene]

epros в сообщении #1510835 писал(а):

Как видите, это не "координаты Минковского".

Но раз у неё нулевая кривизна, значит, эти координаты дифференцируемо отображаются в координаты Минковского? Разумеется, в плоском Минковском можно выбрать сколь угодно кривые координаты, хоть завязанные в бантик. Да и невозможна единственная карта с сферическими координатами.

-- 24.03.2021, 17:07 --

epros в сообщении #1510822 писал(а):

Метрика на сфере:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}{R}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}{R}\right)} - R^2 (d\theta + \sin^2 \theta~d\varphi).$$

Всё же непонятно, что такое в этой формуле $R$?

[epros]

Да, кривизна нулевая. К координатам Минковского можно перейти. Но задача была в том, чтобы построить единые координаты для внешности и внутренности. Вот Вам достроенные внутрь координаты Шварцшильда.

-- Ср мар 24, 2021 18:13:08 --

realeugene в сообщении #1510837 писал(а):

Всё же непонятно, что такое в этой формуле $R$?

Радиус тяготеющей сферы. Просто подставили в решение Шварцшильда $r=R$.