Диофантовые уравнения и тригонометрия.

[Коровьев]

Данная задача решается довольно просто.
Возьмём матрицу поворота вектора в трёхмерном пространстве через углы Эйлера.
Эта матрица удовлетворяет всем требованиям наложенным на числовую матрицу задачи, за исключением рациональности компонентов матрицы. Но если заменить все её тригонометрические элементы на их тригонометрические аналоги, то мы получим трёх-параметрическое решение задачи в рациональных числах:

$\[ \left( {\begin{array}{\cdot{20}c} {C_a C_c - S_a C_b S_c } & { - C_a S_c - S_a C_b C_c } & {S_a S_b } \\ {S_a C_c + C_a C_b S_c } & { - S_a S_c + C_a C_b C_c } & { - C_a S_b } \\ {S_b S_c } & {S_b C_c } & {C_b } \\ \end{array}} \right) \] $

Все ли рациональные решения охватывает данное решение мне не ясно. Это другая задача:
Любой ли вектор с рациональными координатами и единичной длиной можно можно совместить с помощью данной матрицы и рациональными $(a,b,c)$ с вектором $(1,0,0)$.

[Коровьев]

Рассмотрим тождество:

$\[ \left( {1 - \left( {\frac{{a + b}}{{1 + ab}}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{a - b}}{{1 - ab}}} \right)^4 } \right) = \left( {\frac{{\left( {1 - a^4 } \right)\left( {1 - b^4 } \right)S_a }}{{\left( {1 - a^2 b^2 } \right)^2 }}} \right)^2 \left( {S_a ^{ - 2} - S_b ^2 } \right) \]$

Можно показать: для любого неполного рационального кубоида с одной боковой нерациональной диагональю существуют рациональные $a,b,q$ такие, что
$\[S_a ^{ - 2} - S_b ^2 = q^2\]$

Получим кубоид с рациональными сторонами и диагоналями:
$\[ {\left\{ \begin{array}{l} m = S_b \\ d_{mn} = 1 \\ d_{mnk} = S_a ^{ - 1} \\ \end{array} \right.} \]$

$\[ {\left\{ \begin{array}{l} n = \sqrt {1 - S_b ^2 } = C_b \\ k = \sqrt {S_a ^{ - 2} - 1} = T_a ^{ - 1} \\ d_{nk} = \sqrt {S_a ^{ - 2} - S_b ^2 } = q \\ \end{array} \right.} \]$

Из начального тождества следует, что любой неполный рациональный кубоид определяет пару рациональных чисел таких, что

$\[ \left( {1 - A^4 } \right)\left( {1 - B^4 } \right) = C^2 \]$

Интересно, верно ли обратное?

[Коровьев]

Возможно, верно и обратное, если нет ошибок в выкладках.

Пусть в рациональных числах выполняется:
$\[ \left( {1 - x^4 } \right)\left( {1 - y^4 } \right) = z^2 \]$

Возьмём

$\[ a = \frac{{\left( {1 + x^2 y^2 } \right) + z}}{{\left( {1 + x^2 y^2 } \right)\left( {x^2 + y^2 } \right)}},b = \frac{{\left( {1 - x^2 y^2 } \right) + z}}{{\left( {1 - x^2 y^2 } \right)\left( {x^2 - y^2 } \right)}} \]$

Тогда имеем:

$\[ S_a = \frac{{2a}}{{1 + a^2 }} = \frac{{x^2 + y^2 }}{{1 + x^2 y^2 }},S_b = \frac{{2b}}{{1 + b^2 }} = \frac{{x^2 - y^2 }}{{1 - x^2 y^2 }} \]$

Получим:

$\[ S_a ^2 - S_b ^2 = \left( {\frac{{xyz}}{{1 - x^4 y^4 }}} \right)^2 = q^2 \]$

А это есть уравнение рационального кубоида со сторонами $\[ m,n,k\]$ и с одной нерациональной боковой диагональю.

$\[ \left\{ \begin{array}{l} m = S_b \\ d_{mn} = S_a \\ d_{mnk} = 1 \\ \end{array} \right. \to \]$

$\[ \left\{ \begin{array}{l} d_{nk} = \sqrt {1 - S_b ^2 } = C_b \\ k = \sqrt {1 - S_a ^2 } = C_a \\ n = \sqrt {S_a ^2 - S_b ^2 } = q \\ \end{array} \right. \]$

Таким образом, из двух постов следует, что любое рациональное решение уравнения
$\[ \left( {1 - A^4 } \right)\left( {1 - B^4 } \right) = C^2 \]$
определяет некий рациональный кубоид с одной нерациональной боковой диагональю.
И обратно:
любой рациональный кубоид с одной нерациональной боковой диагональю определяет некое решение уравнения
$\[ \left( {1 - A^4 } \right)\left( {1 - B^4 } \right) = C^2 \]$

[Коровьев]

О рациональных точках на окружности.

Будем рассматривать рациональные точки на единичной окружности с центром в начале координат.
Множество таких точек описываются функцией $\[E\left( z \right)\]$ при различном рациональном аргументе $z$

$$\[ E\left( z \right) = C\left( z \right) + S\left( z \right)i = \frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }} + \frac{{2z}}{{1 + z^2 }}i \]$

Возьмём две произвольные точки из этого множества:
$$\[ \left( \cdot \right)X \to E\left( x \right);\left( \cdot \right)Y \to E\left( y \right) \]$
и найдём расстояние между ними.

$$\[ \left( {C\left( x \right) - C\left( y \right)} \right)^2 + \left( {S\left( x \right) - S\left( y \right)} \right)^2 = \]$

$$\[ 2 - 2\left( {C\left( x \right)C\left( y \right) + S\left( x \right)S\left( y \right)} \right) = 2 - 2C\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) = \]$

$$\[ 2\left( {1 - \left( {1 - \left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)^2 } \right)/\left( {1 + \left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)^2 } \right)} \right) = \]$

$$\[ 4\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)^2 /\left( {1 + \left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)^2 } \right) = \frac{{4\left( {x - y} \right)^2 }}{{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + y^2 } \right)}} = d^2 \]$

Полученное выражение будет квадратом рационального числа при:

$$\[ x = T\left( p \right) = S\left( p \right)/C\left( p \right);y = T\left( q \right) = S\left( q \right)/C\left( q \right) \]$

$$\[ d^2 = 4\left( {T\left( p \right) - T\left( q \right)} \right)^2 /\left( {C^{ - 2} \left( p \right)C^{ - 2} \left( q \right)} \right) = \]$

$$\[ 4\left( {S\left( p \right)C\left( q \right) - C\left( p \right)S\left( q \right)} \right)^2 = 4S^2 \left( {\frac{{p - q}}{{1 + pq}}} \right) \]$

$$\[ d = 2S\left( {\frac{{p - q}}{{1 + pq}}} \right) \]$

Мы получили интересное множество с элементами $\[ E\left( {T\left( p \right)} \right)\]$ с рациональным аргументом, обладающее свойством, что расстояние между двумя различными точками его всегда рационально.

Для примера, выберем из этого множества $n$ точек и построим на них любой плоский многоугольник с само-пересечениями или без. Мы получим многоугольник, у которого все стороны и все возможные диагонали, рациональны.

[Коровьев]

Проверим последнее утверждение, к примеру, для четырёх различных рациональных точек единичной окружности.

$$\[ C\left( z \right) = \frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }},S\left( z \right) = \frac{{2z}}{{1 + z^2 }},T\left( z \right) = \frac{{2z}}{{1 - z^2 }}, \]$

$$\[ E\left( {T\left( z \right)} \right) = C\left( {T\left( z \right)} \right) + S\left( {T\left( z \right)} \right)i \]$
- общие положения.

Возьмём $$\[z = 2,3,4,5:\]$

$$\[ \alpha _1 = E\left( {T\left( 2 \right)} \right) = - \frac{7}{{25}} - \frac{{24}}{5}i \]$

$$\[ \alpha _2 = E\left( {T\left( 3 \right)} \right) = \frac{7}{{25}} - \frac{{24}}{5}i \]$

$$\[ \alpha _3 = E\left( {T\left( 4 \right)} \right) = \frac{{161}}{{289}} - \frac{{240}}{{289}}i \]$

$$\[ \alpha _4 = E\left( {T\left( 5 \right)} \right) = \frac{{119}}{{169}} - \frac{{120}}{{169}}i \]$

Найдём все расстояния:

$$\[ d_{k - t} = \left| {\alpha _k - \alpha _t } \right| \]$ - расстояние между двумя точками.

$$\[ d_{1 - 2} = \frac{{14}}{{25}};d_{1 - 3} = \frac{{72}}{{85}};d_{1 - 4} = \frac{{66}}{{65}};d_{2 - 3} = \frac{{26}}{{85}};d_{2 - 4} = \frac{{32}}{{65}};d_{3 - 4} = \frac{{42}}{{221}} \]$

[kotenok gav]

А можно ли как-то обобщить это на сферу?

[Коровьев]

Я пока обдумываю этот вопрос. Дело в том, что используемый для вывода рац.точек на окружности мат.аппарат не годится для рац.точек на сфере. Однако, рац.точки на окружности есть частный случай их на сфере. Поэтому можно рассчитывать, что вывод для окружности будет верен и для сферы.

[Коровьев]

Тут обнаружил ещё один удивительный результат для этих рац.точек на окружности.
Рассмотрим любой отрезок между двумя любыми точками.
Ранее я показал, что это расстояние рационально и равно
$\[ d = 2S\left( r \right) \]$
при некотором рациональном $r$.
Далее, соединив крайние точки выбранного отрезка с центром окружности, на которой находятся эти точки, мы получим равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны единице - радиусу окружности. Найдём высоту из центра на основание треугольника.

$$\[ h^2 = 1 - \left( {\frac{d}{2}} \right)^2 = 1 - S^2 \left( r \right) = C^2 \left( r \right) \]$

$\[ h = C\left( r \right) \]$
То есть , полученный треугольник с рациональным основанием имеет и рациональную высоту, а значит и рациональную площадь.
Значит, мы получили Героновый треугольник.
И это верно для любого отрезка из выбранного множества точек.(!)
А таких точек бесконечно много, следовательно и Героновых треугольников, построенных на концах отрезков на двух любых точках, будет тоже бесконечно много.

[Коровьев]

Выберем на окружности друг за другом по дуге три точки с рациональными аргументами:
$\[ a = E\left( {T\left( p \right)} \right),b = E\left( {T\left( q \right)} \right),c = E\left( {T\left( r \right)} \right) \]$.
Построим на них треугольник $\[\Delta _{abc} \]$.
Все вершины треугольника соединим с центром нашей окружности "o".
Получим ещё три треугольника с рациональными площадями:
$$\[ \Delta _{aob} ,\Delta _{boc} ,\Delta _{a0c} \]$.
Площадь треугольника
$\[ S\Delta _{abc} = S\Delta _{aob} + S\Delta _{boc} - S\Delta _{a0c} \]$
Значит, треугольник $\[\Delta _{abc}\]$ имеет рациональную площадь. А так как все его стороны рациональны, то он является треугольником Герона.

Следовательно, любые три точки из множества
$$\[ a = E\left( {T\left( p \right)} \right),b = E\left( {T\left( q \right)} \right),c = E\left( {T\left( r \right)} \right) \]$
с рациональными аргументами определяют некий треугольник Герона.
(Что для меня оказалось весьма неожиданно. )

[Коровьев]

Проверим полученный результат на конкретных цифровых примерах.
Ранее были выбраны четыре точки и найдены все расстояния между ними. Выберем три расстояния и построим на них треугольник:

$$\[ d_{1 - 2} = \frac{{14}}{{25}};d_{2 - 3} = \frac{{26}}{{85}};d_{3 - 1} = \frac{{72}}{{85}}. \]$

Обозначим

$$\[ p = \frac{{d_{1 - 2} + d_{2 - 3} + d_{1 - 3} }}{2} \]$

Площадь полученного треугольника

$$\[ S = \sqrt {p\left( {p - d_{1 - 2} } \right)\left( {p - d_{2 - 3} } \right)\left( {p - d_{3 - 1} } \right)} = \sqrt {\frac{{{\rm{42928704}}}}{{{\rm{32625390625}}}}} = \frac{{6552}}{{180625}} \]$

Таким образом, выбранный по трём расстояниям между тремя точками треугольник, имеет рациональную площадь и, следовательно, действительно является Героновым.
Аналогично можно вычислить площадь любого треугольника построенного на трёх точках.

$$\[ d_{1 - 2} = \frac{{14}}{{25}};d_{2 - 4} = \frac{{32}}{{65}};d_{4 - 1} = \frac{{66}}{{65}}. \]$

$$\[ S = \frac{{7392}}{{105625}} \]$

И так далее.

[scwec]

Похожее для псевдоэвклидовой метрики на плоскости
Рассмотрим рациональные точки плоскости на единичной гиперболе $x^2-y^2=1$ в декартовых координатах $x,y$.
Расстояние $d$ между двумя точками $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)$ примем псевдоэвклидовым, т.е. $d^2=(y_2-x_2)^2-(y_1-x_1)^2$
На единичной гиперболе определим рациональные точки с координатами $x=\dfrac{t^4+1}{2t^2}, y=\dfrac{t^4-1}{2t^2}$, где $t\ne{0}$ рациональный параметр.
Множество этих точек на гиперболе бесконечно, а псевдоэвклидово расстояние между любыми двумя точками с параметрами $t_1,t_2$ равно $\left|\dfrac{t_1^2-t_2^2}{t_1{t_2}}\right|$ и,значит, рационально.
Замечу так же, что единичная гипербола на плоскости играет роль единичной окружности для псевдоэвклидовой метрики.

[Коровьев]

scwec
Интересно, а будет ли треугольник, построенный на трёх таких точках, Героновым?
А может есть какие-нибудь другие интересные свойства подобных точек.
Может стоит тут повозиться.

[scwec]

Надо сказать, что треугольники на псевдоэвклидовой плоскости Минковского по свойствам отличаются от обычных треугольников.
Как и длины отрезков, углы между ними и т.п.
Длины могут быть как вещественными так и мнимыми, в треугольниках с вещественными сторонами длина наибольшей стороны больше суммы длин двух других сторон и это обстоятельство, например, нужно учитывать при вычислении площади треугольника
с помощью формулы Герона и т.д.
В нашем случае, как и в эвклидовом случае, можно воспользоваться тем, что треугольник с рациональными длинами сторон,
вписанный в окружность с рациональным радиусом, всегда имеет рациональную площадь, так как $S=abc/4R$ ($a,b,c$ длины сторон, $R$ - радиус окружности).
В эвклидовом случае у Вас все треугольники вписаны в единичную окружность, в псевдоэвклидовом у меня - в единичную гиперболу
(она же единичная окружность для псевдоэвклидовой метрики).
Таким образом, треугольники в псевдоэвклидовом случае, как и в эвклидовом, Героновы.

[Коровьев]

$\[ C\left( z \right) = \frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }},S\left( z \right) = \frac{{2z}}{{1 + z^2 }},T\left( z \right) = \frac{{2z}}{{1 - z^2 }}, \]$

Ранее было получено множество точек на комплексной плоскости
$$\[ E\left( {T\left( z \right)} \right) = C\left( {T\left( z \right)} \right) + S\left( {T\left( z \right)} \right)i \]$
с рациональным аргументом $z$, обладающее свойством, что расстояние между двумя любыми точками множества всегда рационально.

Неожиданно выяснилось, что
$$\[ E\left( {T\left( z \right)} \right) = E^2 \left( z \right) \]$
А это значит, что полученное множество является множеством квадратов всех комплексных рациональных чисел, лежащих на окружности в комплексной плоскости с модулем радиуса равным единице.
Проверим
Пусть даны две точки $$\[E^2 \left( x \right),E^2 \left( y \right)\]$

Расстояние между ними

$$\[ d^2 = \left| {E^2 \left( x \right) - E^2 \left( y \right)} \right|^2 = \left( {E^2 \left( x \right) - E^2 \left( y \right)} \right)\left( {E^2 \left( { - x} \right) - E^2 \left( { - y} \right)} \right) = \]$

$$\[ 2 - E^2 \left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) - E^2 \left( { - \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) = \]$

$$\[ - E^2 \left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) + 2E\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)E\left( { - \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) - E^2 \left( { - \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) = \]$

$$\[ - \left( {E\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) - E\left( { - \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)} \right)^2 = - \left( {2S\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)i} \right)^2 = 4S^2 \left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) \]$

Таким образом, расстояние между двумя такими точками, действительно, рационально.

$$\[ {d = 2S\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)} \]$

Свойство квадратов точек окружности достаточно интересное свойство, причём, доказательство очень простое. Посему, маловероятно, что этот факт неизвестен.

[scwec]

Замечание по поводу единичной гиперболы.
Множество рациональных точек на ней, псевдоэвклидовы расстояния между которыми все рациональны (координаты точек $x=\frac{t^4+1}{2t^2}, y=\frac{t^4-1}{2t^2}$ и расстояния между ними $d=|\frac{t_1^2-t_2^2}{t_1{t_2}}|$, гиперболическим поворотом $X=x\cdot\frac{k^2 + 1}{2k}+y\cdot\frac{k^2-1}{2k},Y=x\cdot\frac{k^2-1}{2k}+y\cdot\frac{k^2+1}{2k}$, где $k$ - рациональное число, превращается в множество рациональных точек на единичной гиперболе с координатами $X=\frac{k^2{t^4}+1}{2kt^2}, Y=\frac{k^2{t^4}-1}{2kt^2}$ и рациональными расстояниями между точками этого множества $d=|\frac{t_1^2-t_2^2}{t_1{t_2}}|$.
Новое множество совпадает с первоначальным, если $k$ квадрат и не совпадает с первоначальным, если $k$ не квадрат.
Т.о. таких множеств на единичной гиперболе бесконечное число.
Аналогично обстоят дела с единичной окружностью в эвклидовой метрике.