Математическая индукция.

[Ana345]

При каких _целых_ $\ n\geqslant0$ справедливо неравенство: $\ n!+\ n\geqslant\ n^3+1$
Нужно доказать методом математической индукции.
Вот мое решение: При $\ n=0$ $\ n=1$ и $\ n\geqslant6$ (нужно доказать)
$\ n!+\ n\geqslant\ n^3+1$ \Rightarrow $\ n!\geqslant\ n^3+1−n$
$\ (n+1)!+\ n+1\geqslant\ (n+1)^3+1$
$\ n! \cdot \ (n+1)+\ n+1\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 3n+2$
$\ n! \cdot \ (n+1)\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 2n+1$
( это все было сделано ради того, чтобы увязать между собой левые части $\ P(n)$ -исходного неравенства и $\ P(n+1)$ при $\ n=n+1$ тем самым я получила, что они различны в $\ n+1$ раз) далее:
Нам достаточно, чтобы: $\ (n+1) \cdot \ (n^3+1-n)\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 2n+1$
$\ n^4+\ n^3-\ n^2+1\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 2n+1$
(Верно при $\ n\geqslant6$ )

Нужно строгое математическое обоснование всех полученных неравенств. Подскажите, где моя ошибка? Где мои рассуждения не верны?

[arseniiv]

Доказать, что $n^4 + 4 n^2 - 2 n \geqslant 0$ при $n \geqslant 6$, с помощью математической индукции совершенно прямо: доказываете базу $6^4 + 4 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6 \geqslant 0$, далее предполагаете что $n^4 + 4 n^2 - 2 n \geqslant 0$ выполнено и доказываете при этом предположении $(n + 1)^4 + 4 (n + 1)^2 - 2 (n + 1) \geqslant 0$. Потребуется дополнительно знать лишь то, что $n \geqslant 0$, но это мы знаем. Просто раскрываете скобки и видите, что выражение куда больше, чем то, которое по условию больше нуля — значит и это новое больше. (Или я ошибся где-то в преобразованиях, но их так мало…)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»