2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическая индукция.
Сообщение17.03.2021, 18:57 


17/03/21
12
При каких _целых_ $\ n\geqslant0$ справедливо неравенство: $\ n!+\ n\geqslant\ n^3+1$
Нужно доказать методом математической индукции.
Вот мое решение: При $\ n=0$ $\ n=1$ и $\ n\geqslant6$ (нужно доказать)
$\ n!+\ n\geqslant\ n^3+1$ \Rightarrow $\ n!\geqslant\ n^3+1−n$
$\ (n+1)!+\ n+1\geqslant\ (n+1)^3+1$
$\ n! \cdot \ (n+1)+\ n+1\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 3n+2$
$\ n! \cdot \ (n+1)\geqslant\  n^3+\ 3n^2+\ 2n+1$
( это все было сделано ради того, чтобы увязать между собой левые части $\ P(n)$ -исходного неравенства и $\ P(n+1)$ при $\ n=n+1$ тем самым я получила, что они различны в $\ n+1$ раз) далее:
Нам достаточно, чтобы: $\ (n+1) \cdot \ (n^3+1-n)\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 2n+1$
$\ n^4+\ n^3-\ n^2+1\geqslant\ n^3+\ 3n^2+\ 2n+1$
(Верно при $\ n\geqslant6$ )

Нужно строгое математическое обоснование всех полученных неравенств. Подскажите, где моя ошибка? Где мои рассуждения не верны? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение17.03.2021, 19:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Доказать, что $n^4 + 4 n^2 - 2 n \geqslant 0$ при $n \geqslant 6$, с помощью математической индукции совершенно прямо: доказываете базу $6^4 + 4 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6 \geqslant 0$, далее предполагаете что $n^4 + 4 n^2 - 2 n \geqslant 0$ выполнено и доказываете при этом предположении $(n + 1)^4 + 4 (n + 1)^2 - 2 (n + 1) \geqslant 0$. Потребуется дополнительно знать лишь то, что $n \geqslant 0$, но это мы знаем. Просто раскрываете скобки и видите, что выражение куда больше, чем то, которое по условию больше нуля — значит и это новое больше. (Или я ошибся где-то в преобразованиях, но их так мало…)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.03.2021, 22:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23591
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.03.2021, 16:49 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23591
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group