Ценность шахматных фигур

[waxtep]

Увлекся странным вопросом, как посчитать, что конь, слон, ладья и ферзь стоят $3,3,5,9$ пешек соответственно (в среднем, без учета позиции, для грубого расчета материального перевеса; в детстве отец меня учил немного другому раскладу $3:3:4:8$).
Затрудняюсь изложить в форме, порождающей обсуждение, по-моему это просто забавно Попробуем сделать расчет на основе среднего числа полей, которые бьет (прикрывает) фигура, в зависимости от ее положения на доске. Перво-наперво, для пешки

$$S_\text{п}=7/4$$

т.к. ладейные пешки бьют одно поле, а прочие - два. Тонкости типа взятия на проходе и превращения на последней горизонтали игнорируем. Если посчитать коня (нижний левый угол - поле a1)

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline &&&8\\ \hline &&8&8\\ \hline &4&6&6\\ \hline 2&3&4&4\\ \hline \end{tabular}$$

получим $S_\text{к}=21/4$, т.е. ровно три пешки. Отнормируем сейчас и далее на $7/4$, тогда $S_\text{п}=1,S_\text{к}=3$.

Для дальнобойных фигур такой метод дает завышенную оценку, особенно для тяжелых. Что и понятно: линия атаки может быть перекрыта другими фигурами, сокращаюшими радиус действия дальнобойников. Если грубо положить, что фигуры равномерно размазаны по доске и каждое из полей на линии атаки свободно с некоторой вероятностью $p$, для слона, ладьи и ферзя получим

$$S_\text{с}=\frac1{28}(49+36p+25p^2+16p^3+9p^4+4p^5+p^6)$$

$$S_\text{л}=\frac27(7+6p+5p^2+4p^3+3p^4+2p^5+p^6)$$

$$S_\text{ф}=S_\text{с}+S_\text{л}$$

При $p$ в районе $0,6$ (миттельшпиль) мы выйдем на соотношение около $3:5:8$. Модель, конечно, грубая, игнорирует тот факт, что ферзь сильнее ладьи и слона вместе взятых, за счет своей хитрой маневренности. Единственный, на мой взгляд интересный вопрос здесь, - как учесть эту хитрую маневренность в расчетах? Исходно я хотел считать по-другому, не сколько в среднем полей бьет фигура в статике, а сколько она будет бить в динамике, сделав ход (это грубо говоря потребует усреднять квадраты количества побиваемых полей). Пораженный тем фактом, что конь, сделав ход, может (в целом, для всех вариантов хода) напасть на $27$ из $32$ в принципе доступных ему по цвету полей (как всякий начинающий шахматист я жестоко страдаю от коневых вилок).

P.S.: картинка сравнительной ценности слона и ладьи в зависимости от значения $p$ в вольфраме; параметрический график действительно очень близок к прямой с наклоном $5/3$; если слон или ладья зажаты другими фигурами, их ценность всего около двух пешек; а на открытых линиях/диагоналях они, как и положено, "звереют"

[пианист]

waxtep в сообщении #1509185 писал(а):

Попробуем сделать расчет на основе среднего числа полей, которые бьет (прикрывает) фигура, в зависимости от ее положения на доске.

А если на основании данных о фактически сыгранных шахматных партиях, как размен повлиял на результат?

[mustitz]

Ну... ИМХО, самый сложный фактор в такой оценке это тот факт, что слон не может перейти на соседнюю диагональ, что может создавать определённый штраф. Во-вторых, сама идея использовать $p$ мне не очень нравиться. В эндшпиле при $p\rightarrow 0$ благодаря, ограниченности материала, сила фигур часто, наоборот, приближается друг к другу.

Ну и есть, например, сянци и шоги. Интересно посмотреть там, но там куда больше особенностей для учёта.

[waxtep]

пианист в сообщении #1509293 писал(а):

А если на основании данных о фактически сыгранных шахматных партиях, как размен повлиял на результат?

Тут непонятно: если смотреть партии профессионалов, там большое значение приобретает комбинационная борьба, где фактор позиции и взаимодействия фигур преобладает над грубыми материальными соотношениями. А если любителей, - там будет просто ошибка на ошибке, очень зашумленные данные

-- 15.03.2021, 13:38 --

mustitz в сообщении #1509316 писал(а):

самый сложный фактор в такой оценке это тот факт, что слон не может перейти на соседнюю диагональ, что может создавать определённый штраф.

По идее, грубо это учтено при подсчёте - усреднение только по доступным $32$ полям. Но, видимо, можно сказать, что ценность слона получается завышенной, при $p=0.6: S_\text{с}=3, S_\text{л}=4$, а при $p=0.75: S_\text{с}=3.6, S_\text{л}=5$. Еще не учтено то, что и слоны и в особенности ладьи имеют свойство мощно действовать парочками

-- 15.03.2021, 13:40 --

mustitz в сообщении #1509316 писал(а):

В эндшпиле при $p\rightarrow 0$ благодаря, ограниченности материала, сила фигур часто, наоборот, приближается друг к другу

Очень интересное соображение; ведь, грубо говоря, слон против ладьи и ладья против двух слонов, если не ошибаюсь, преимущественно ничья. Видимо в целом этот грубый расчет применим только для миттельшпиля

-- 15.03.2021, 13:56 --

+ эмпирическое правило, которое я принял для себя: при игре против любителя моего уровня при его перевесе в $4$ очка (и в ясной позиции без контршансов) будет приличным сдаться. Ну или ждать до последнего патрона, когда он зевнет ферзя

[mustitz]

Думаю, что на практике сила фигур был получена из анализа эндшпилей. Типа конь с пешкой скорее всего будет играть на выигрыш против слона. Но будет искать ничью против ладьи. Но если у коня будет на пару пешек больше против ладьи, то в среднем будет равенство. А три пешки уже много. Конь чуть слабее слона, но с пешкой уже будет посильнее. И т. д. И все эти ориентиры стоимости фигур это для окончаний: если партия будет нормально развиваться, если фигуры и пешки будут равноценно размениваться, то получится эндшпить в котором шансы победить зависят от материала.

[geomath]

А король сколько?

[waxtep]

geomath в сообщении #1509429 писал(а):

А король сколько?

я в детстве не мог смириться, что королю стоимость назначить невозможно и все приставал к отцу... Он тогда сказал, "король - сто!", и я успокоился.

-- 16.03.2021, 00:25 --

mustitz в сообщении #1509403 писал(а):

Думаю, что на практике сила фигур был получена из анализа эндшпилей.

кстати да, чем-то похожим недавно мучил шахматный движок - у белых король и фигура, а у чёрных король и несколько пешек в начальных позициях. Кажется, ферзь у восьми пешек выигрывает, а ладья с пятью делает ничью. Конечно, пешек на предпоследней горизонтали хватило бы меньше для проигрыша

[geomath]

waxtep в сообщении #1509440 писал(а):

я в детстве не мог смириться, что королю стоимость назначить невозможно и все приставал к отцу... Он тогда сказал, "король - сто!", и я успокоился.

Я тоже в свое время интересовался этой темой, и у меня получилось, что
король 5−,
ферзь 9−,
ладья 5+,
слон 3+,
конь 2+,
в сумме 24+,
пешка 1±.

[waxtep]

Вот так еще хотелось бы посчитать, правда, трудозатраты в таком варианте уже малоприемлемы для забавы:
1. Определим дистанцию между двумя полями для фигуры как минимальное количество ходов, за которое она может пробраться с одного поля на другое при пустой доске.
2. Слово "расстояние" использовать боязно, ведь пешка назад не ходит, а слон не может сменить цвет. Соответствующие дистанции можно принять бесконечными.
3. Для фигуры и пары полей рассчитаем среднее от обратной величины дистанции по всему (вообще говоря бесконечному) множеству возможных траекторий движения, с учетом того, что поля на пути могут быть перекрыты своей, либо чужой фигурой. Чем больше ходов в траектории, тем меньше ее вклад (но, с другой стороны, количество траекторий будет расти).
4. В качестве ценности фигуры возьмем среднее от посчитанного выше по всем парам полей.

Вопросы хитрой маневренности ферзя и штрафа слону за одноцветность это по идее должно покрывать, но, конечно, осуществить подобный расчет на практике я вряд ли возьмусь

P.S.: выражаясь более гуманитарно, как же по-разному выглядит доска для ладьи, слона и коня! Разные соседи. Бедному слону вообще может внезапно прилететь удар из "мира иного".

[grizzly]

Существуют семифигурные базы всех возможных шахматных окончаний. Любопытно было бы заменить во всех позициях слона на коня, например, и посмотреть на то, как изменится статистика результатов: сколько позиций из выигрышных станет проигрышными и наоборот, на сколько больше ходов потребуется, чтобы поставить мат при таких изменениях и т.п. Не удивлюсь, если это уже кто-то посмотрел (хотя бы для статистически значимого количества позиций).

[Александрович]

Дорога ложка к обеду. Всё зависит от позиции. Играл я как-то с Псахисом в сеансе одновременной игры. Долго гонялся за его ферзём и наконец забрал его, отдав своего коня и ладью, но при этом он напрочь запер моего слона. Но доске он был конечно, но играть не мог совсем.

[waxtep]

Александрович в сообщении #1509718 писал(а):

Дорога ложка к обеду.

Фактор позиции и взаимодействия фигур здесь конечно не учитывается; только геометрия, то, что на шахматной доске всего четверть "хороших" центральных клеток и почти половина "плохих" граничных. Половина! честно говоря, этот тривиальный факт оказался для меня неожиданным

[mustitz]

grizzly в сообщении #1509711 писал(а):

Существуют семифигурные базы всех возможных шахматных окончаний. Любопытно было бы заменить во всех позициях слона на коня, например, и посмотреть на то, как изменится статистика результатов: сколько позиций из выигрышных станет проигрышными и наоборот, на сколько больше ходов потребуется, чтобы поставить мат при таких изменениях и т.п. Не удивлюсь, если это уже кто-то посмотрел (хотя бы для статистически значимого количества позиций).

Ну... это очень искажённая оценка, очень большой вклад даст окончание два слона против коня (выиграно), где замена слона на коня (да и коня на слона) поменяет оценку на ничейную. Также два коня тоже не матуют (за ислючением позиций Троицкого где осталась пешка) а замени любого на слона — изи.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1509702 писал(а):

как же по-разному выглядит доска для ладьи, слона и коня!

waxtep в сообщении #1509185 писал(а):

как всякий начинающий шахматист я жестоко страдаю от коневых вилок

обучающий ролик писал(а):

Конь - фигура непредсказуемая

Оказывается, граф коня можно изобразить более квадратно-гнездовым способом:

$$\begin{tabular}{ ccc } % top level tables, with 2 columns % leftmost table of the top level table \begin{tabular}{ |c|c|c|c| } \hline b8 & d7 & f8 & h7 \\ \hline a6 & c5 & e6 & g5 \\ \hline b4&d3&f4&h3\\ \hline a2&c1&e2&g1\\ \hline \end{tabular} & \Leftarrow18\Rightarrow & % starting rightmost sub table % table 2 \begin{tabular}{ |c|c|c|c| } \hline a8&c7&e8&g7 \\ \hline b6&d5&f6&h5 \\ \hline a4&c3&e4&g3\\ \hline b2&d1&f2&h1\\ \hline \end{tabular} \\ \Uparrow&&\Uparrow\\ 18&&18\\ \Downarrow&&\Downarrow\\ \begin{tabular}{ |c|c|c|c| } \hline b7& d8& f7 & h8 \\ \hline a5& c6 & e5 & g6 \\ \hline b3&d4&f3&h4\\ \hline a1&c2&e1&g2\\ \hline \end{tabular} & \Leftarrow18\Rightarrow & % starting rightmost sub table % table 2 \begin{tabular}{ |c|c|c|c| } \hline a7&c8&e7&g8 \\ \hline b5&d6&f5&h6 \\ \hline a3&c4&e3&g4\\ \hline b1&d2&f1&h2\\ \hline \end{tabular} \end{tabular}$$

Соседними для коня являются только поля, имеющие общую сторону, плюс по $18$ тоннелей с каждого из четырех островов на два соседних. Тоннели тоже имеют простую структуру, например, нижняя стрелка расшифровывается так:

$$\begin{tabular}{ ccc } % top level tables, with 2 columns \begin{tabular}{ |c|c|c|c| } \hline \text{\color{blue}b7}& \text{\color{magenta}d6}& \text{\color{blue}f7}& \text{\color{magenta}h6}\\ \hline \text{\color{blue}a5}& \text{\color{magenta}c4}& \text{\color{blue}e5}& \text{\color{magenta}g4}\\ \hline \text{\color{blue}b3}& \text{\color{magenta}d2}& \text{\color{blue}f3}& \text{\color{magenta}h2}\\ \hline \end{tabular} & \quad & % starting rightmost sub table % table 2 \begin{tabular}{ |c|c|c|c| } \hline \text{\color{magenta}a7}& \text{\color{blue}c6}& \text{\color{magenta}e7}& \text{\color{blue}g6}\\ \hline \text{\color{magenta}b5}& \text{\color{blue}d4}& \text{\color{magenta}f5}& \text{\color{blue}h4}\\ \hline \text{\color{magenta}a3}& \text{\color{blue}c2}& \text{\color{magenta}e3}& \text{\color{blue}g2}\\ \hline \end{tabular} \end{tabular}$$

Совсем красиво и без дублирования полей такое представление графа выглядело бы в четырех измерениях, можно же (кажется) "разнести по двум этажам" столбцы вдоль третьей оси, а строки вдоль четвертой

[Mihaylo]

Ценность фигуры в данной теме понимается как некоторая аддитивная величина, но почему ей не быть мультипликативной? При этом минимум такой ценности равна 1, когда фигура вышла из игры.