2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ценность шахматных фигур
Сообщение14.03.2021, 15:05 
Аватара пользователя


07/01/16
998
Аязьма
Увлекся странным вопросом, как посчитать, что конь, слон, ладья и ферзь стоят $3,3,5,9$ пешек соответственно (в среднем, без учета позиции, для грубого расчета материального перевеса; в детстве отец меня учил немного другому раскладу $3:3:4:8$).
Затрудняюсь изложить в форме, порождающей обсуждение, по-моему это просто забавно :-) Попробуем сделать расчет на основе среднего числа полей, которые бьет (прикрывает) фигура, в зависимости от ее положения на доске. Перво-наперво, для пешки $$S_\text{п}=7/4$$т.к. ладейные пешки бьют одно поле, а прочие - два. Тонкости типа взятия на проходе и превращения на последней горизонтали игнорируем. Если посчитать коня (нижний левый угол - поле a1)$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
&&&8\\
\hline
&&8&8\\
\hline
&4&6&6\\
\hline
2&3&4&4\\
\hline
\end{tabular}$$получим $S_\text{к}=21/4$, т.е. ровно три пешки. Отнормируем сейчас и далее на $7/4$, тогда $S_\text{п}=1,S_\text{к}=3$.

Для дальнобойных фигур такой метод дает завышенную оценку, особенно для тяжелых. Что и понятно: линия атаки может быть перекрыта другими фигурами, сокращаюшими радиус действия дальнобойников. Если грубо положить, что фигуры равномерно размазаны по доске и каждое из полей на линии атаки свободно с некоторой вероятностью $p$, для слона, ладьи и ферзя получим
$$S_\text{с}=\frac1{28}(49+36p+25p^2+16p^3+9p^4+4p^5+p^6)$$$$S_\text{л}=\frac27(7+6p+5p^2+4p^3+3p^4+2p^5+p^6)$$$$S_\text{ф}=S_\text{с}+S_\text{л}$$При $p$ в районе $0,6$ (миттельшпиль) мы выйдем на соотношение около $3:5:8$. Модель, конечно, грубая, игнорирует тот факт, что ферзь сильнее ладьи и слона вместе взятых, за счет своей хитрой маневренности. Единственный, на мой взгляд интересный вопрос здесь, - как учесть эту хитрую маневренность в расчетах? Исходно я хотел считать по-другому, не сколько в среднем полей бьет фигура в статике, а сколько она будет бить в динамике, сделав ход (это грубо говоря потребует усреднять квадраты количества побиваемых полей). Пораженный тем фактом, что конь, сделав ход, может (в целом, для всех вариантов хода) напасть на $27$ из $32$ в принципе доступных ему по цвету полей (как всякий начинающий шахматист я жестоко страдаю от коневых вилок).

P.S.: картинка сравнительной ценности слона и ладьи в зависимости от значения $p$ в вольфраме; параметрический график действительно очень близок к прямой с наклоном $5/3$; если слон или ладья зажаты другими фигурами, их ценность всего около двух пешек; а на открытых линиях/диагоналях они, как и положено, "звереют"

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение15.03.2021, 09:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1470
МО
waxtep в сообщении #1509185 писал(а):
Попробуем сделать расчет на основе среднего числа полей, которые бьет (прикрывает) фигура, в зависимости от ее положения на доске.

А если на основании данных о фактически сыгранных шахматных партиях, как размен повлиял на результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение15.03.2021, 11:57 


10/04/12
687
Ну... ИМХО, самый сложный фактор в такой оценке это тот факт, что слон не может перейти на соседнюю диагональ, что может создавать определённый штраф. Во-вторых, сама идея использовать $p$ мне не очень нравиться. В эндшпиле при $p\rightarrow 0$ благодаря, ограниченности материала, сила фигур часто, наоборот, приближается друг к другу.

Ну и есть, например, сянци и шоги. Интересно посмотреть там, но там куда больше особенностей для учёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение15.03.2021, 13:32 
Аватара пользователя


07/01/16
998
Аязьма
пианист в сообщении #1509293 писал(а):
А если на основании данных о фактически сыгранных шахматных партиях, как размен повлиял на результат?
Тут непонятно: если смотреть партии профессионалов, там большое значение приобретает комбинационная борьба, где фактор позиции и взаимодействия фигур преобладает над грубыми материальными соотношениями. А если любителей, - там будет просто ошибка на ошибке, очень зашумленные данные

-- 15.03.2021, 13:38 --

mustitz в сообщении #1509316 писал(а):
самый сложный фактор в такой оценке это тот факт, что слон не может перейти на соседнюю диагональ, что может создавать определённый штраф.
По идее, грубо это учтено при подсчёте - усреднение только по доступным $32$ полям. Но, видимо, можно сказать, что ценность слона получается завышенной, при $p=0.6: S_\text{с}=3, S_\text{л}=4$, а при $p=0.75: S_\text{с}=3.6, S_\text{л}=5$. Еще не учтено то, что и слоны и в особенности ладьи имеют свойство мощно действовать парочками

-- 15.03.2021, 13:40 --

mustitz в сообщении #1509316 писал(а):
В эндшпиле при $p\rightarrow 0$ благодаря, ограниченности материала, сила фигур часто, наоборот, приближается друг к другу
Очень интересное соображение; ведь, грубо говоря, слон против ладьи и ладья против двух слонов, если не ошибаюсь, преимущественно ничья. Видимо в целом этот грубый расчет применим только для миттельшпиля

-- 15.03.2021, 13:56 --

+ эмпирическое правило, которое я принял для себя: при игре против любителя моего уровня при его перевесе в $4$ очка (и в ясной позиции без контршансов) будет приличным сдаться. Ну или ждать до последнего патрона, когда он зевнет ферзя :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение15.03.2021, 19:46 


10/04/12
687
Думаю, что на практике сила фигур был получена из анализа эндшпилей. Типа конь с пешкой скорее всего будет играть на выигрыш против слона. Но будет искать ничью против ладьи. Но если у коня будет на пару пешек больше против ладьи, то в среднем будет равенство. А три пешки уже много. Конь чуть слабее слона, но с пешкой уже будет посильнее. И т. д. И все эти ориентиры стоимости фигур это для окончаний: если партия будет нормально развиваться, если фигуры и пешки будут равноценно размениваться, то получится эндшпить в котором шансы победить зависят от материала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение15.03.2021, 22:21 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
А король сколько?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение16.03.2021, 00:22 
Аватара пользователя


07/01/16
998
Аязьма
geomath в сообщении #1509429 писал(а):
А король сколько?
я в детстве не мог смириться, что королю стоимость назначить невозможно и все приставал к отцу... Он тогда сказал, "король - сто!", и я успокоился.

-- 16.03.2021, 00:25 --

mustitz в сообщении #1509403 писал(а):
Думаю, что на практике сила фигур был получена из анализа эндшпилей.
кстати да, чем-то похожим недавно мучил шахматный движок - у белых король и фигура, а у чёрных король и несколько пешек в начальных позициях. Кажется, ферзь у восьми пешек выигрывает, а ладья с пятью делает ничью. Конечно, пешек на предпоследней горизонтали хватило бы меньше для проигрыша :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение16.03.2021, 06:51 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
waxtep в сообщении #1509440 писал(а):
я в детстве не мог смириться, что королю стоимость назначить невозможно и все приставал к отцу... Он тогда сказал, "король - сто!", и я успокоился.
Я тоже в свое время интересовался этой темой, и у меня получилось, что
король 5−,
ферзь 9−,
ладья 5+,
слон 3+,
конь 2+,
в сумме 24+,
пешка 1±.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение17.03.2021, 12:46 
Аватара пользователя


07/01/16
998
Аязьма
Вот так еще хотелось бы посчитать, правда, трудозатраты в таком варианте уже малоприемлемы для забавы:
1. Определим дистанцию между двумя полями для фигуры как минимальное количество ходов, за которое она может пробраться с одного поля на другое при пустой доске.
2. Слово "расстояние" использовать боязно, ведь пешка назад не ходит, а слон не может сменить цвет. Соответствующие дистанции можно принять бесконечными.
3. Для фигуры и пары полей рассчитаем среднее от обратной величины дистанции по всему (вообще говоря бесконечному) множеству возможных траекторий движения, с учетом того, что поля на пути могут быть перекрыты своей, либо чужой фигурой. Чем больше ходов в траектории, тем меньше ее вклад (но, с другой стороны, количество траекторий будет расти).
4. В качестве ценности фигуры возьмем среднее от посчитанного выше по всем парам полей.

Вопросы хитрой маневренности ферзя и штрафа слону за одноцветность это по идее должно покрывать, но, конечно, осуществить подобный расчет на практике я вряд ли возьмусь

P.S.: выражаясь более гуманитарно, как же по-разному выглядит доска для ладьи, слона и коня! Разные соседи. Бедному слону вообще может внезапно прилететь удар из "мира иного".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение17.03.2021, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Существуют семифигурные базы всех возможных шахматных окончаний. Любопытно было бы заменить во всех позициях слона на коня, например, и посмотреть на то, как изменится статистика результатов: сколько позиций из выигрышных станет проигрышными и наоборот, на сколько больше ходов потребуется, чтобы поставить мат при таких изменениях и т.п. Не удивлюсь, если это уже кто-то посмотрел (хотя бы для статистически значимого количества позиций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение17.03.2021, 14:05 
Аватара пользователя


21/01/09
3798
Дивногорск
Дорога ложка к обеду. Всё зависит от позиции. Играл я как-то с Псахисом в сеансе одновременной игры. Долго гонялся за его ферзём и наконец забрал его, отдав своего коня и ладью, но при этом он напрочь запер моего слона. Но доске он был конечно, но играть не мог совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение18.03.2021, 14:17 
Аватара пользователя


07/01/16
998
Аязьма
Александрович в сообщении #1509718 писал(а):
Дорога ложка к обеду.
Фактор позиции и взаимодействия фигур здесь конечно не учитывается; только геометрия, то, что на шахматной доске всего четверть "хороших" центральных клеток и почти половина "плохих" граничных. Половина! честно говоря, этот тривиальный факт оказался для меня неожиданным

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение18.03.2021, 14:57 


10/04/12
687
grizzly в сообщении #1509711 писал(а):
Существуют семифигурные базы всех возможных шахматных окончаний. Любопытно было бы заменить во всех позициях слона на коня, например, и посмотреть на то, как изменится статистика результатов: сколько позиций из выигрышных станет проигрышными и наоборот, на сколько больше ходов потребуется, чтобы поставить мат при таких изменениях и т.п. Не удивлюсь, если это уже кто-то посмотрел (хотя бы для статистически значимого количества позиций).


Ну... это очень искажённая оценка, очень большой вклад даст окончание два слона против коня (выиграно), где замена слона на коня (да и коня на слона) поменяет оценку на ничейную. Также два коня тоже не матуют (за ислючением позиций Троицкого где осталась пешка) а замени любого на слона — изи.

 Профиль  
                  
 
 Граф респектабельного коня
Сообщение24.03.2021, 01:11 
Аватара пользователя


07/01/16
998
Аязьма
waxtep в сообщении #1509702 писал(а):
как же по-разному выглядит доска для ладьи, слона и коня!
waxtep в сообщении #1509185 писал(а):
как всякий начинающий шахматист я жестоко страдаю от коневых вилок
обучающий ролик писал(а):
Конь - фигура непредсказуемая
Оказывается, граф коня можно изобразить более квадратно-гнездовым способом:$$\begin{tabular}{ ccc }   % top level tables, with 2 columns  
% leftmost table of the top level table
\begin{tabular}{ |c|c|c|c| } 
\hline
b8 & d7 & f8 & h7 \\
\hline
a6 & c5 & e6 & g5 \\
\hline
b4&d3&f4&h3\\
\hline
a2&c1&e2&g1\\
\hline
\end{tabular} & \Leftarrow18\Rightarrow

&  % starting rightmost sub table
% table 2
\begin{tabular}{ |c|c|c|c| } 
\hline
a8&c7&e8&g7 \\
\hline
b6&d5&f6&h5 \\
\hline
a4&c3&e4&g3\\
\hline
b2&d1&f2&h1\\
\hline
\end{tabular} \\

\Uparrow&&\Uparrow\\
18&&18\\
\Downarrow&&\Downarrow\\

\begin{tabular}{ |c|c|c|c| } 
\hline
b7& d8& f7 & h8 \\
\hline
a5& c6 & e5 & g6 \\
\hline
b3&d4&f3&h4\\
\hline
a1&c2&e1&g2\\
\hline
\end{tabular} & \Leftarrow18\Rightarrow
&  % starting rightmost sub table
% table 2
\begin{tabular}{ |c|c|c|c| } 
\hline
a7&c8&e7&g8 \\
\hline
b5&d6&f5&h6 \\
\hline
a3&c4&e3&g4\\
\hline
b1&d2&f1&h2\\
\hline
\end{tabular}


\end{tabular}$$Соседними для коня являются только поля, имеющие общую сторону, плюс по $18$ тоннелей с каждого из четырех островов на два соседних. Тоннели тоже имеют простую структуру, например, нижняя стрелка расшифровывается так:$$\begin{tabular}{ ccc }   % top level tables, with 2 columns  


\begin{tabular}{ |c|c|c|c| } 
\hline
\text{\color{blue}b7}& \text{\color{magenta}d6}&  \text{\color{blue}f7}& \text{\color{magenta}h6}\\
\hline
\text{\color{blue}a5}& \text{\color{magenta}c4}&  \text{\color{blue}e5}& \text{\color{magenta}g4}\\
\hline
\text{\color{blue}b3}& \text{\color{magenta}d2}&  \text{\color{blue}f3}& \text{\color{magenta}h2}\\
\hline

\end{tabular} & \quad
&  % starting rightmost sub table
% table 2
\begin{tabular}{ |c|c|c|c| } 
\hline
\text{\color{magenta}a7}&  \text{\color{blue}c6}& \text{\color{magenta}e7}&  \text{\color{blue}g6}\\
\hline
\text{\color{magenta}b5}&  \text{\color{blue}d4}& \text{\color{magenta}f5}&  \text{\color{blue}h4}\\
\hline
\text{\color{magenta}a3}&  \text{\color{blue}c2}& \text{\color{magenta}e3}&  \text{\color{blue}g2}\\
\hline
\end{tabular}


\end{tabular}$$Совсем красиво и без дублирования полей такое представление графа выглядело бы в четырех измерениях, можно же (кажется) "разнести по двум этажам" столбцы вдоль третьей оси, а строки вдоль четвертой

 Профиль  
                  
 
 Re: Ценность шахматных фигур
Сообщение23.04.2021, 20:19 


12/07/15
1737
Ценность фигуры в данной теме понимается как некоторая аддитивная величина, но почему ей не быть мультипликативной? При этом минимум такой ценности равна 1, когда фигура вышла из игры.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group