Треугольник, вписанная и описанная окружность

[silversurficus]

В треугольнике $ABC$ угол $BAC = 60^\circ$, радиус вписанной окружности равен $\frac{3{\sqrt{3}}}{2} $ Точка $M$ - середина $AC$, точка $L$ на стороне $AB$ такова, что $CL$ - биссектриса $ACB$. Отрезок $ML$ перпендикулярен $AB$. Найти $AB$ и радиус описанной вокруг $ABC$окружности.


Мои соображения:
Обозначим центр вписанной окружности за $O$, тогда $AO$(биссектриса) очевидно $ {3{\sqrt{3}}} $. Радиус к стороне $AC$ - $OK$, к стороне $AB$ - $OF$, к стороне $BC$ - $OH$. Продлим $OF$ до пересечения с $AC$ и обозначим точку пересечения за точку $D$. Понятно, что $AFD\sim ALM$. $OD=AO$, $FO=OK$. Дальше не знаю, что делать

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- будет хорошо, если приложить чертеж.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[statistonline]

Мне кажется, проще воспользоваться, во-первых, свойством биссектрисы делить сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон, т.е. $AL:LB=AC:BC$, а дальше дополнительно учесть , что $Rr=\frac{abc}{2(a+b+c)}$ и $R=\frac{a}{2\sin(A)}$

[silversurficus]

Задачу я дорешал, итак: положим, что $AL$ - $x$, тогда $AC$ - $4x$, а $FB$ - $y$. При этом как отрезки касательных $FB=BH=y$. Исходя из свойства биссектрисы $\frac{x}{y+4.5+x} = \frac{4x}{y-4.5+4x}$. Выражаем $y=\frac{16x-45}{6} $. По теореме косинусов $\left(4.5+\frac{16x-45}{6}\right)^{2}+16x^2-2\times4x\times\left(4.5+\frac{16x-45}{6}\right)\times\cos60 градусов =\left(4x-4.5+\frac{16x-45}{6}\right)^{2}$
Без калькулятора тяжело решается, но я решил, хотя и заняло минут 15. Там получается два значения икса, подходит только одно - $\frac{15}{4}$. Находим две стороны, а потом и радиус. $AB=7$, $R=\frac{13\sqrt{3}}{3}$