Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508253 писал(а):

$2,11(10)$

Вы же имеете ввиду до отображения на всю числовую прямую? Так, ну, целая часть этого числа - 2. Значит, в последовательности, соответствующей этому действительному числу, 2 действительных числа. Далее, укрупним, так сказать, дробную часть этого числа: $0,11101010\ldots$ Значит, этому действительному числу соответствует последовательность, состоящая из следующих действительных чисел: $a_0=\ctg(\pi\cdot 0,1111\ldots)$ и $a_1=\ctg(\pi\cdot 0,1000\ldots)$, причем именно в этом порядке! Или что-то не сходится?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508263 писал(а):

Вы же имеете ввиду до отображения на всю числовую прямую?

Я имею в виду в кубе, отображение пространства в куб у вас правильное.
Да, $2,11(10)$ соответствует в кубе (точнее в данном случае в квадрате) точке с координатами $0,(1)$ и $0,1$. А какой точке соответствует $2,10(19)$?

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508265 писал(а):

Да, $2,11(10)$ соответствует в кубе (точнее в данном случае в квадрате) точке с координатами $0,(1)$ и $0,1$

Так нет, же, не одной точке с двумя координатами, а двум точкам с одной координатой у каждой:

Sinoid в сообщении #1508263 писал(а):

$a_0=\ctg(\pi\cdot 0,1111\ldots)$ и $a_1=\ctg(\pi\cdot 0,1000\ldots)$

-- 07.03.2021, 22:44 --

mihaild в сообщении #1508265 писал(а):

А какой точке соответствует $2,10(19)$?

Не точке, а какой последовательности из каких действительных чисел соответствует данное действительное число? Отвечать?

-- 07.03.2021, 22:51 --

mihaild в сообщении #1508265 писал(а):

Да, $2,11(10)$ соответствует в кубе (точнее в данном случае в квадрате) точке с координатами $0,(1)$ и $0,1$

А, понял: $i$-ое число в последовательности из $n$ действительных чисел вы считаете $i$-ой координатой точки, принадлежащей $n$-мерному пространству.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508266 писал(а):

не одной точке с двумя координатами, а двум точкам с одной координатой у каждой

Это одно и то же. Две точки на интервалах - это то же самое, что одна точка в квадрате. Хорошо, если вас это путает - постараюсь говорить о последовательностях.

Sinoid в сообщении #1508266 писал(а):

Не точке, а какой последовательности из каких действительных чисел соответствует данное действительное число? Отвечать?

Да, какая там получится последовательность?

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508267 писал(а):

Да, какая там получится последовательность?

О, я понял, о чем вы. Там, получается, будет, что $t_0=0{,}(1)$, $t_1=0{,}0(9)$ девятки в периоде запрещены, поэтому переписываем $t_1$ в слкдующем виде: $t_1=0{,}1(0)$. Число $a_1$-то такое преобразование не изменяет совершенно никак, а вот $m$ такое преобразование меняет совершенно кардинально: вместо

mihaild в сообщении #1508265 писал(а):

$2,10(19)$

теперь будет $m=2,11(10)$. Что ж, получается, что у меня и как эту задачу решать идей нет. А все ведь так хорошо начиналось.

-- 08.03.2021, 19:08 --

Еще безнадежней с моим отображением была бы ситуация, если бы мы взяли число 2,(19). Тогда было бы $t_1=0{,}(9)$, девятки в периоде запрещены, поэтому пишем $t_1=1{,}(0)$, а $\ctg(\pi\cdot 1)$ просто не существует. Да, плохо, очень плохо.

[vego]

Так вот же подсказки:

mihaild в сообщении #1508178 писал(а):

Sinoid, доказать, что множество всех последовательностей из $42$ вещественных чисел равномощно $\mathbb{R}$, вы можете?

svv в сообщении #1508241 писал(а):

В задаче 42 надо догадаться, как закодировать последовательность вещественных чисел одним вещественным числом. Намёк в теореме 5. Важна также теорема 4. Разумеется, код должен содержать и информацию о длине последовательности. Лёгкие шероховатости и нестыковки преодолеваются с помощью уже приобретённого опыта заметания счётного мусора под бесконечный ковёр (как в задаче 38, да и в теореме 4 тоже).

[Sinoid]

vego в сообщении #1508351 писал(а):

Так вот же подсказки:

mihaild в сообщении #1508178 писал(а):

Разумеется, код должен содержать и информацию о длине последовательности.

В этом-то и заключается основная проблема: как информацию о длине последовательности отделить от информации о числах, составляющих эту последовательность???

-- 08.03.2021, 20:27 --

vego в сообщении #1508351 писал(а):

Так вот же подсказки:

svv в сообщении #1508178 писал(а):

Sinoid, доказать, что множество всех последовательностей из $42$ вещественных чисел равномощно $\mathbb{R}$, вы можете?

Именно эту цель я и преследовал, пытаясь построить подходящее взаимно-однозначное соответствие в приведенной выше попытке найти часть решения.

[vego]

А что вы думаете по поводу параграфа непосредственно перед самой задачей?

[Sinoid]

vego в сообщении #1508358 писал(а):

А что вы думаете по поводу параграфа непосредственно перед самой задачей?

Вы имеете ввиду доказательство теоремы 5? Я думал и в эту сторону (для конечных последовательностей): в первый интервал декартова произведения кодировать длину последовательности. У меня получилось, что проблема в том, что я не смогу отобразить взаимно-однозначно счетное множество на несчетное множество точек интервала $\left[0,\,1\right]$

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508357 писал(а):

как информацию о длине последовательности отделить от информации о числах, составляющих эту последовательность?

Это же вы придумали - вынести в целую часть. Экивалентно тому, что в сегмент $[0, 1)$ мы отображаем $(0, 1)$, в сегмент $[1, 2)$ - $(0, 1)^2$ и т.д., в $[n, n + 1)$ - $(0, 1)^n$.

Sinoid в сообщении #1508357 писал(а):

Именно эту цель я и преследовал, пытаясь построить подходящее взаимно-однозначное соответствие в приведенной выше попытке найти часть решения

Попробуйте воспользоваться теоремой $5$, чтобы построить биекцию $(0, 1)^2 \leftrightarrow (0, 1)$. Потом попробуйте использовать эту биекцию чтобы построить биекцию $(0, 1)^n \leftrightarrow (0, 1)$.

(Оффтоп)

Вообще ИМХО эти задачи без Кантора-Бернштейна - ненужное издевательство над учащимися.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508370 писал(а):

Попробуйте воспользоваться теоремой $5$, чтобы построить биекцию $(0, 1)^2 \leftrightarrow (0, 1)$. Потом попробуйте использовать эту биекцию чтобы построить биекцию $(0, 1)^n \leftrightarrow (0, 1)$.

Именно по мотивам доказательства теоремы 5 я и действовал вот здесь:

Sinoid в сообщении #1508249 писал(а):

$\begin{matrix}t_{0}=\overline{0,\alpha_{00}\alpha_{01}\alpha_{02}\ldots}\\
t_{1}=\overline{0,\alpha_{10}\alpha_{11}\alpha_{12}\ldots}\\
\hdotsfor{1}\\
t_{n-1}=\overline{0,\alpha_{n-1,0}\alpha_{n-1,1}\alpha_{n-1,2}\ldots}
\end{matrix}$
Тогда, ставя в соответствие последовательности $M$ действительное число $m=\overline{n{,}\alpha_{00}\alpha_{10}\ldots\alpha_{n-1,0}\alpha_{01}\alpha_{11}\ldots\alpha_{n-1,1}\alpha_{02}\alpha_{12}\alpha_{n-1,2}\ldots}$,

По сути, я там ничего нового не придумал. Результат вы сами видели, какой получился.

[Slav-27]

1) Любой интервал вещественной прямой $\mathbb R$ имеет мощность континуум.
2) $n$-мерное пространство $\mathbb R^n$ имеет мощность континуум для любого натурального числа $n$.
Из этих 2 фактов следует, что любое множество, в которое можно вложить интервал и которое само вкладывается как подмножество в какое-то $\mathbb R^n$, имеет мощность континуум. Это решает некоторые обсуждавшиеся здесь задачи на тему "докажите, что множества равномощны", но не даёт явной биекции.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1508376 писал(а):

mihaild в сообщении #1508370

писал(а):
Попробуйте воспользоваться теоремой $5$, чтобы построить биекцию $(0, 1)^2 \leftrightarrow (0, 1)$. Потом попробуйте использовать эту биекцию чтобы построить биекцию $(0, 1)^n \leftrightarrow (0, 1)$.
Именно по мотивам доказательства теоремы 5 я и действовал вот здесь:

Sinoid в сообщении #1508249 писал(а):

$\begin{matrix}t_{0}=\overline{0,\alpha_{00}\alpha_{01}\alpha_{02}\ldots}\\
t_{1}=\overline{0,\alpha_{10}\alpha_{11}\alpha_{12}\ldots}\\
\hdotsfor{1}\\
t_{n-1}=\overline{0,\alpha_{n-1,0}\alpha_{n-1,1}\alpha_{n-1,2}\ldots}
\end{matrix}$
Тогда, ставя в соответствие последовательности $M$ действительное число $m=\overline{n{,}\alpha_{00}\alpha_{10}\ldots\alpha_{n-1,0}\alpha_{01}\alpha_{11}\ldots\alpha_{n-1,1}\alpha_{02}\alpha_{12}\alpha_{n-1,2}\ldots}$,

По сути, я там ничего нового не придумал. Результат вы сами видели, какой получился.
Только я там действовал нерекурсивно. Быть может, в этом причина постигшей меня неудачи?

-- 08.03.2021, 21:52 --

Slav-27 в сообщении #1508378 писал(а):

2) $n$-мерное пространство $\mathbb R^n$ имеет мощность континуум для любого натурального числа $n$.

В принципе, по большей части это и решает исходную задачу. С другой стороны, получается, ИМХО, что тот же самый изъян придуманного мной соответствия, выявленный mihaild, содержится и в доказательстве теоремы 5 обсуждаемой книги.

-- 08.03.2021, 22:18 --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1508370 писал(а):

Вообще ИМХО эти задачи без Кантора-Бернштейна - ненужное издевательство над учащимися.

См. задачу 45.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508379 писал(а):

Только я там действовал нерекурсивно. Быть может, в этом причина постигшей меня неудачи?

Доказательство теоремы 5 состоит из двух частей: технически неприятная, но идейно неинтересная биекция между отрезком и множеством последовательностей из нулей и единиц (теорема 4 - как раз лечим проблему двух представлений у двоично-рациональных чисел) и технически простая, но идейная биекция между парами последовательностей и последовательностями. Т.е. обозначив множество последовательностей за $\{0, 1\}^\omega$, мы строим биекцию по цепочке $[0, 1]^2 \leftrightarrow \left(\{0, 1\}^\omega\right)^2 \leftrightarrow \{0, 1\}^\omega \leftrightarrow [0, 1]$.
Вы же попытались биекцию $\left(\{0, 1\}^\omega\right)^2 \leftrightarrow \{0, 1\}^\omega$ непосредственно перенести на $[0, 1]^2 \leftrightarrow [0, 1]$, забыв как раз про технические детали.

[svv]

Slav-27 в сообщении #1508378 писал(а):

Из этих 2 фактов следует, что любое множество, в которое можно вложить интервал и которое само вкладывается как подмножество в какое-то $\mathbb R^n$, имеет мощность континуум. Это решает некоторые обсуждавшиеся здесь задачи на тему "докажите, что множества равномощны", но не даёт явной биекции.

Мы уже говорили автору темы об этом. Но в книге Шеня, по которой он изучает теорию, теорема Кантора-Бернштейна идёт только в следующем параграфе, так что он не должен пока ею пользоваться.

Далее Шень так и пишет:

Цитата:

Посмотрите на приведённые выше задачи, где требовалось доказать равномощность, и убедитесь, что во многих из них применение теоремы Кантора – Бернштейна сильно упрощает дело.

Но сейчас эти задачи надо решить без применения волшебной палочки.