Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"

[arseniiv]

(Оффтоп)

vpb
Но евклидова структура на $\mathbb R^3$ (раз углы) — это в общем случае слишком много. В частности, произвольные преобразования из $\mathrm{PGL}(2, \mathbb R)$ её не сохранят. Потому может быть нужно доказывать, что топологию разные евклидовы структуры зададут там всё равно одну и ту же. Если это так, а я боюсь, вдруг нет.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1508125 писал(а):

Еще насчет "указания". В книжках для детей (скажем, А.В.Спивак, 1001 задача по математике), иногда к задачам даются подсказки. Так и написано "подсказка". И "указание" там тоже пишут. А в английских книжках вообще hint, что значит "намёк". Подсказка, указание и намёк --- это в данном случае почти синонимы.

Так я ж ничего против этого и не имею. Без них я б школьный курс геометрии решал бы еще Бог знает сколько времени, а про задачник по высшей алгебре Фаддеева, Сомнинского вообще молчу. Но почему они мне там так помогали? Да, потому что там они сформулированы однозначно трактуемым образом! А тут поди туда, неизвестно куда, учитывай то, вообще непонятно что!...

-- 06.03.2021, 23:23 --

Ладно. мы с вами совсем удалились от математики, а нужно что-то и порешать.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1508097 писал(а):

Я просто утверждаю, что после сказанного в указании, без конкретного описания множеств точек и прямых исключений слово "всех" в условии задачи становится ровным счетом ничего не значащим.

Цитата:

за небольшими исключениями

Ничего не надо описывать, потому что никаких исключений нет. Исключения появляются, когда Вы, следуя указанию, пытаетесь описать все прямые парами чисел. Какие именно будут исключения — зависит от того, какой способ описания прямых парами чисел Вы придумаете. Но равномощность надо доказать для двух заданных множеств без исключений.

mihaild в сообщении #1508112 писал(а):

arseniiv в сообщении #1508108 писал(а):

И по-моему никакой непрерывной биекции не будет (но не помню аргумент)

А какая топология на множестве прямых?

Лист Мёбиуса без граничной окружности.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1508172 писал(а):

Ничего не надо описывать, потому что никаких исключений нет. Исключения появляются, когда Вы, следуя указанию, пытаетесь описать все прямые парами чисел. Какие именно будут исключения — зависит от того, какой способ описания прямых парами чисел Вы придумаете. Но равномощность надо доказать для двух заданных множеств без исключений.

Теперь понятно. Спасибо большое. Но, в принципе, когда я искал разъяснения по поводу множеств-исключений в данной задаче, я нечаянно наткнулся на понятное решение этой задачи. Так что эту задачу можно считать закрытой.

Вот почему я не люблю искать всякие уточнения решаемой задачи в Инете.

-- 07.03.2021, 01:44 --

Всем остальным помогающим тоже огромное спасибо.

-- 07.03.2021, 01:49 --

Думаю над задачей 42:
Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$ (множеству всех действительных чисел).
На ум приходит то, что всякое действительное число можно представить в виде $\operatorname{ctg}\pi t$, где $0<t<1$. И вот эти границы для $t$, о

[vego]

По моему можно рассуждать проще.
1. Рассмотрим прямые проходящие через начало координат. Каждой прямой соответствует некий угол поворота.
2. Все остальные прямые получаются параллельным переносом.
Таким образом для каждой прямой у нас есть два параметра, один из которых принимает значение на интервале, а второй на всем множестве вещественных чисел. Ну а любой непустой интервал равномощен всему множеству вещественных чисел.

[mihaild]

Sinoid, доказать, что множество всех последовательностей из $42$ вещественных чисел равномощно $\mathbb{R}$, вы можете?
vego, а как параллельный перенос параметризовать? В любом случае, одну прямую можно получить разными парами (поворот, перенос).

[svv]

Поворот на угол $\varphi\in[0,\pi)$, затем параллельный перенос на $a\in\mathbb R$, т.е. «со знаком».

[vego]

Очень хотелось бы знать как авторы предлагают решать задачу 42 без знания некоторых нетривиальных теорем.

Может можно в качестве ответа просто сказать, что каждый элемент можно покрыть конечным семейством открытых интервалов?

-- 07.03.2021, 00:25 --

mihaild в сообщении #1508178 писал(а):

Sinoid, доказать, что множество всех последовательностей из $42$ вещественных чисел равномощно $\mathbb{R}$, вы можете?
vego, а как параллельный перенос параметризовать? В любом случае, одну прямую можно получить разными парами (поворот, перенос).

Я так понимаю, что все прямые можно разбить на классы эквивалентности по признаку параллельности, а в каждом таком классе только одна прямая проходит черес начало координат.

[mihaild]

vego в сообщении #1508181 писал(а):

а в каждом таком классе только одна прямая проходит черес начало координат

А, я подумал что перенос в фиксированном направлении. Если перпендикулярно прямой то да, всё работает.

[vego]

По поводу задачи 42: так как необходимых теоретических сведений в самой книге нет, то наверное авторы полагают, что можно прибегать к неформальным геометрическим идеям. Так что надо, наверное, подумать о прямых на вещественной плоскости.

[Sinoid]

vego в сообщении #1508221 писал(а):

По поводу задачи 42: так как необходимых теоретических сведений в самой книге нет,

Почему? Как по мне, так вполне решаемая в рамках уже изложенного материала задача. Только нужно немножко добавить еще школьной тригонометрии, совсем чуть-чуть. Сейчас напишу, что я по поводу нее думаю: ночью начал, да, не успел.

-- 07.03.2021, 16:44 --

Вот черт, а. А порядок элементов-то в этих конечных последовательностях я совсем упустил из вида.

[vego]

Можно и через тангенсы. :)

[svv]

В задаче 42 надо догадаться, как закодировать последовательность вещественных чисел одним вещественным числом. Намёк в теореме 5. Важна также теорема 4. Разумеется, код должен содержать и информацию о длине последовательности. Лёгкие шероховатости и нестыковки преодолеваются с помощью уже приобретённого опыта заметания счётного мусора под бесконечный ковёр (как в задаче 38, да и в теореме 4 тоже).

[Sinoid]

Итак, задача 42:
Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$ (множеству всех действительных чисел).
На ум приходит то, что всякое действительное число можно представить в виде $\operatorname{ctg}\pi t$, где $0<t<1$. Тогда для каждого элемента конечной последовательности $M=\left\{ a_{0},\, a_{1},\ldots,\, a_{n-1}\right\}$. находим соответствующие $t_i$, $i=0,\,1,\ldots,\,n-1$, при необходимости ставя в бесконечные периоды нули, а не девятки. Пусть, для определенности, наши $t_i$ имеют следующий вид:
$\begin{matrix}t_{0}=\overline{0,\alpha_{00}\alpha_{01}\alpha_{02}\ldots}\\ t_{1}=\overline{0,\alpha_{10}\alpha_{11}\alpha_{12}\ldots}\\ \hdotsfor{1}\\ t_{n-1}=\overline{0,\alpha_{n-1,0}\alpha_{n-1,1}\alpha_{n-1,2}\ldots} \end{matrix}$
Тогда, ставя в соответствие последовательности $M$ действительное число $m=\overline{n{,}\alpha_{00}\alpha_{10}\ldots\alpha_{n-1,0}\alpha_{01}\alpha_{11}\ldots\alpha_{n-1,1}\alpha_{02}\alpha_{12}\alpha_{n-1,2}\ldots}$, мы получим однозначное (пока не доказано, что это соответствие будет взаимно-однозначным!) этих конечных последовательностей действительных чисел на интервал $[1,\,+\infty)$. Указать же взаимно-однозначное соответствие между этим интервалом и всей числовой прямой не представляет никаких трудностей. На первый взгляд может показаться, что при таком способе задания соответствия не будет взаимно-однозначного соответствия: конечным последовательностям, состоящим из одних и тех же действительных чисел, но написанным в разных порядках будут в этом соответствии соответствовать и разные действительные числа. На самом деле однозначность возвращается после того, как мы вспомним, что речь идет о последовательностях действительных чисел, а не о множествах действительных чисел. А, значит, даже если эти последовательности состоят из одних и тех же действительных чисел, но записанных в различных порядках, эти последовательности будут считаться различными. Как вам такое соответствие? Потом допишу еще одно соображение о нем.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508249 писал(а):

Как вам такое соответствие?

Проблема со всеми любимыми десятично-рациональными числами.
Например какой последовательности ($t_i$, отображение $n$-мерного пространства в куб можно не трогать) соответствует число $2,11(10)$? А $2,10(19)$?