2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 11  След.
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение06.03.2021, 20:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

vpb
Но евклидова структура на $\mathbb R^3$ (раз углы) — это в общем случае слишком много. В частности, произвольные преобразования из $\mathrm{PGL}(2, \mathbb R)$ её не сохранят. Потому может быть нужно доказывать, что топологию разные евклидовы структуры зададут там всё равно одну и ту же. Если это так, а я боюсь, вдруг нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение06.03.2021, 22:21 


03/06/12
2862
vpb в сообщении #1508125 писал(а):
Еще насчет "указания". В книжках для детей (скажем, А.В.Спивак, 1001 задача по математике), иногда к задачам даются подсказки. Так и написано "подсказка". И "указание" там тоже пишут. А в английских книжках вообще hint, что значит "намёк". Подсказка, указание и намёк --- это в данном случае почти синонимы.

Так я ж ничего против этого и не имею. Без них я б школьный курс геометрии решал бы еще Бог знает сколько времени, а про задачник по высшей алгебре Фаддеева, Сомнинского вообще молчу. :shock: Но почему они мне там так помогали? Да, потому что там они сформулированы однозначно трактуемым образом! А тут поди туда, неизвестно куда, учитывай то, вообще непонятно что!...

-- 06.03.2021, 23:23 --

Ладно. мы с вами совсем удалились от математики, а нужно что-то и порешать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Sinoid в сообщении #1508097 писал(а):
Я просто утверждаю, что после сказанного в указании, без конкретного описания множеств точек и прямых исключений слово "всех" в условии задачи становится ровным счетом ничего не значащим.
Цитата:
за небольшими исключениями
Ничего не надо описывать, потому что никаких исключений нет. Исключения появляются, когда Вы, следуя указанию, пытаетесь описать все прямые парами чисел. Какие именно будут исключения — зависит от того, какой способ описания прямых парами чисел Вы придумаете. Но равномощность надо доказать для двух заданных множеств без исключений.

mihaild в сообщении #1508112 писал(а):
arseniiv в сообщении #1508108 писал(а):
И по-моему никакой непрерывной биекции не будет (но не помню аргумент)
А какая топология на множестве прямых?
Лист Мёбиуса без граничной окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 00:42 


03/06/12
2862
Someone в сообщении #1508172 писал(а):
Ничего не надо описывать, потому что никаких исключений нет. Исключения появляются, когда Вы, следуя указанию, пытаетесь описать все прямые парами чисел. Какие именно будут исключения — зависит от того, какой способ описания прямых парами чисел Вы придумаете. Но равномощность надо доказать для двух заданных множеств без исключений.

Теперь понятно. Спасибо большое. Но, в принципе, когда я искал разъяснения по поводу множеств-исключений в данной задаче, я нечаянно наткнулся на понятное решение этой задачи. Так что эту задачу можно считать закрытой.

Вот почему я не люблю искать всякие уточнения решаемой задачи в Инете.

-- 07.03.2021, 01:44 --

Всем остальным помогающим тоже огромное спасибо.

-- 07.03.2021, 01:49 --

Думаю над задачей 42:
Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$ (множеству всех действительных чисел).
На ум приходит то, что всякое действительное число можно представить в виде $\operatorname{ctg}\pi t$, где $0<t<1$. И вот эти границы для $t$, о

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 01:17 


01/03/18
50
По моему можно рассуждать проще.
1. Рассмотрим прямые проходящие через начало координат. Каждой прямой соответствует некий угол поворота.
2. Все остальные прямые получаются параллельным переносом.
Таким образом для каждой прямой у нас есть два параметра, один из которых принимает значение на интервале, а второй на всем множестве вещественных чисел. Ну а любой непустой интервал равномощен всему множеству вещественных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 01:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9147
Цюрих
Sinoid, доказать, что множество всех последовательностей из $42$ вещественных чисел равномощно $\mathbb{R}$, вы можете?
vego, а как параллельный перенос параметризовать? В любом случае, одну прямую можно получить разными парами (поворот, перенос).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Поворот на угол $\varphi\in[0,\pi)$, затем параллельный перенос на $a\in\mathbb R$, т.е. «со знаком».

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 02:20 


01/03/18
50
Очень хотелось бы знать как авторы предлагают решать задачу 42 без знания некоторых нетривиальных теорем. :D

Может можно в качестве ответа просто сказать, что каждый элемент можно покрыть конечным семейством открытых интервалов? :lol:

-- 07.03.2021, 00:25 --

mihaild в сообщении #1508178 писал(а):
Sinoid, доказать, что множество всех последовательностей из $42$ вещественных чисел равномощно $\mathbb{R}$, вы можете?
vego, а как параллельный перенос параметризовать? В любом случае, одну прямую можно получить разными парами (поворот, перенос).

Я так понимаю, что все прямые можно разбить на классы эквивалентности по признаку параллельности, а в каждом таком классе только одна прямая проходит черес начало координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9147
Цюрих
vego в сообщении #1508181 писал(а):
а в каждом таком классе только одна прямая проходит черес начало координат
А, я подумал что перенос в фиксированном направлении. Если перпендикулярно прямой то да, всё работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 14:41 


01/03/18
50
По поводу задачи 42: так как необходимых теоретических сведений в самой книге нет, то наверное авторы полагают, что можно прибегать к неформальным геометрическим идеям. Так что надо, наверное, подумать о прямых на вещественной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 15:30 


03/06/12
2862
vego в сообщении #1508221 писал(а):
По поводу задачи 42: так как необходимых теоретических сведений в самой книге нет,

Почему? Как по мне, так вполне решаемая в рамках уже изложенного материала задача. Только нужно немножко добавить еще школьной тригонометрии, совсем чуть-чуть. Сейчас напишу, что я по поводу нее думаю: ночью начал, да, не успел.

-- 07.03.2021, 16:44 --

Вот черт, а. А порядок элементов-то в этих конечных последовательностях я совсем упустил из вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 15:50 


01/03/18
50
Можно и через тангенсы. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
В задаче 42 надо догадаться, как закодировать последовательность вещественных чисел одним вещественным числом. Намёк в теореме 5. Важна также теорема 4. Разумеется, код должен содержать и информацию о длине последовательности. Лёгкие шероховатости и нестыковки преодолеваются с помощью уже приобретённого опыта заметания счётного мусора под бесконечный ковёр (как в задаче 38, да и в теореме 4 тоже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 17:40 


03/06/12
2862
Итак, задача 42:
Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$ (множеству всех действительных чисел).
На ум приходит то, что всякое действительное число можно представить в виде $\operatorname{ctg}\pi t$, где $0<t<1$. Тогда для каждого элемента конечной последовательности $M=\left\{ a_{0},\, a_{1},\ldots,\, a_{n-1}\right\}$. находим соответствующие $t_i$, $i=0,\,1,\ldots,\,n-1$, при необходимости ставя в бесконечные периоды нули, а не девятки. Пусть, для определенности, наши $t_i$ имеют следующий вид:
$\begin{matrix}t_{0}=\overline{0,\alpha_{00}\alpha_{01}\alpha_{02}\ldots}\\
t_{1}=\overline{0,\alpha_{10}\alpha_{11}\alpha_{12}\ldots}\\
\hdotsfor{1}\\
t_{n-1}=\overline{0,\alpha_{n-1,0}\alpha_{n-1,1}\alpha_{n-1,2}\ldots}
\end{matrix}$
Тогда, ставя в соответствие последовательности $M$ действительное число $m=\overline{n{,}\alpha_{00}\alpha_{10}\ldots\alpha_{n-1,0}\alpha_{01}\alpha_{11}\ldots\alpha_{n-1,1}\alpha_{02}\alpha_{12}\alpha_{n-1,2}\ldots}$, мы получим однозначное (пока не доказано, что это соответствие будет взаимно-однозначным!) этих конечных последовательностей действительных чисел на интервал $[1,\,+\infty)$. Указать же взаимно-однозначное соответствие между этим интервалом и всей числовой прямой не представляет никаких трудностей. На первый взгляд может показаться, что при таком способе задания соответствия не будет взаимно-однозначного соответствия: конечным последовательностям, состоящим из одних и тех же действительных чисел, но написанным в разных порядках будут в этом соответствии соответствовать и разные действительные числа. На самом деле однозначность возвращается после того, как мы вспомним, что речь идет о последовательностях действительных чисел, а не о множествах действительных чисел. А, значит, даже если эти последовательности состоят из одних и тех же действительных чисел, но записанных в различных порядках, эти последовательности будут считаться различными. Как вам такое соответствие? Потом допишу еще одно соображение о нем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение07.03.2021, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9147
Цюрих
Sinoid в сообщении #1508249 писал(а):
Как вам такое соответствие?
Проблема со всеми любимыми десятично-рациональными числами.
Например какой последовательности ($t_i$, отображение $n$-мерного пространства в куб можно не трогать) соответствует число $2,11(10)$? А $2,10(19)$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 152 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group