Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"

[svv]

Sinoid в сообщении #1508035 писал(а):

это при однозначно интерпретируемой формулировке содержания доказываемого утверждения, объектов, участвующих в утверждении

А в данной задаче 39 нормально сформулировано условие? Достаточно однозначно? Если нет, что там не так?

[vego]

Подумайте про углы Хотя все равно методически книжка не очень хорошо написана.

[Nemiroff]

Sinoid в сообщении #1508025 писал(а):

Почему?

Потому что ни одному из уравнений

Sinoid в сообщении #1507969 писал(а):

Тогда
точке $(a,\, b)$, где обе координаты ненулевые, ставим в соответствие прямую $\dfrac{x}{\vphantom{b}a}+\dfrac{y}{b}=1$;
точке $(a,\, 0)$, где $a\not=0 $ - прямую $\dfrac{x}{\vphantom{b}a}=1$;

точке $(0,\, b)$, где $b\not=0$ - прямую $\dfrac{y}{b}=1$

не удовлетворяет точка $(0,0)$. А значит ни одна прямая, проходящая через $(0,0)$ вами не описана.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508035 писал(а):

но это при однозначно интерпретируемой формулировке содержания доказываемого утверждения, объектов, участвующих в утверждении

А что в формулировке "докажите, что множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на плоскости" интерпретируется неоднозначно? О каких множествах речь, или что про них надо доказать?

(Оффтоп)

Вообще я не вижу особого смысла в этих развлечениях с построением относительно явной биекции. Инъекциb туда-сюда построить легко, а Кантор-Бернштейн доказывается несложно и довольно конструктивно.

[Sinoid]

Nemiroff в сообщении #1508042 писал(а):

не удовлетворяет точка $(0,0)$. А значит ни одна прямая, проходящая через $(0,0)$ вами не описана.

Так я все прямые, проходящие через $(0,0)$, отнесу к этим "за небольшими исключениями" и тем самым удовлетворю всему тому, чему можно или нужно удовлетворить. А почему нет?

-- 06.03.2021, 01:14 --

svv в сообщении #1508038 писал(а):

А в данной задаче 39 нормально сформулировано условие? Достаточно однозначно? Если нет, что там не так?

mihaild в сообщении #1508043 писал(а):

А что в формулировке "докажите, что множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на плоскости" интерпретируется неоднозначно? О каких множествах речь, или что про них надо доказать?

Сформулировано - да, однозначно. Проблема в том, что, если не принимать во внимание сказанного в указании, утверждение задачи, насколько я понимаю, становится неверным.

[Nemiroff]

Sinoid в сообщении #1508045 писал(а):

Так я все прямые, проходящие через $(0,0)$, отнесу к этим "за небольшими исключениями" и тем самым удовлетворю всему тому, чему можно или нужно удовлетворить. А почему нет?

Что "почему нет"? Я ровно это и написал -- ваша конструкция не покрывает все прямые, проходящие через $(0,0)$. И это не две оси координат, а весь пучок прямых.

Sinoid в сообщении #1508045 писал(а):

Проблема в том, что, если не принимать во внимание сказанного в указании, утверждение задачи, насколько я понимаю, становится неверным.

Множество точек плоскости и множество прямых на плоскости равномощны.

[Sinoid]

Nemiroff в сообщении #1508048 писал(а):

Я ровно это и написал -- ваша конструкция не покрывает все прямые, проходящие через $(0,0)$. И это не две оси координат, а весь пучок прямых.

Да, точно: я просто тогда думал только про оси. Спасибо за уточнение.

-- 06.03.2021, 01:57 --

Nemiroff в сообщении #1508048 писал(а):

Множество точек плоскости и множество прямых на плоскости равномощны.

Безо всяких исключений из множества точек или множества прямых?

[Nemiroff]

Sinoid в сообщении #1508050 писал(а):

Безо всяких исключений из множества точек или множества прямых?

Да.
Однако "построить" его в виде, скажем, формулы несколько затруднительно.
Вас просят доказать их равномощность, а не предъявить биекцию.

[Sinoid]

Nemiroff в сообщении #1508053 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508050 писал(а):

Безо всяких исключений из множества точек или множества прямых?

Да.

Так отлично! Я с этим и не спорю, ввиду своей безусловной безграмотности сейчас в теории множеств. Это утверждение я и буду пытаться доказать изо всех своих скромных сил. Я просто утверждаю, что после сказанного в указании, без конкретного описания множеств точек и прямых исключений слово "всех" в условии задачи становится ровным счетом ничего не значащим.

Цитата:

за небольшими исключениями

Позвольте узнать, а эти исключения к чему относятся - к точкам или прямым? И какова мощность, скажем, множества точек этих исключений? Это натуральное число или оно равномощно счетному множество? А, может, оно равномощно континиууму? А, если я возьму 100, или 10000, или даже
1 000 000 различных точек и столько же различных прямых и установлю между ними взаимно-однозначное соответствие, просто, не поленюсь и вручную возьму и установлю, а, значит, докажу и равномощность этих множеств, это будет считаться, что я решил эту задачу, принимая во внимание сказанное в указании к этой задаче? Строя свое решение с оглядкой на указание.

-- 06.03.2021, 16:56 --

Nemiroff в сообщении #1508053 писал(а):

а не предъявить биекцию.

Если бы я предъяаил биекцию, я бы доказал и равномощность. Не получилось, но и Бог с ним, будем искать другие пути: я и не настаивал на биекции. Нет - так не надо, другую найдем...

-- 06.03.2021, 17:01 --

Кстати, не исключено, что в результате этих поисков я найду все равно бмекцию, пусть и другую.

[vego]

Каждая прямая задается целым классом векторов, как этот класс можно параметризовать?

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1508097 писал(а):

Кстати, не исключено, что в результате этих поисков я найду все равно бмекцию, пусть и другую.

Ну есть класс неплохих биекций, связанных с произвольными окружностями (и вообще невырожденными коническими сечениями), но это для проективного пространства. Точке с однородными координатами $(a, b, c)$ сопоставим прямую с уравнением $ax + by + cz = 0$. Когда мы делаем вид, что кусок проективной плоскости — это аффинная плоскость, мы выкидываем «бесконечно удалённую прямую», таким образом лишая одну точку образа (этой прямой) и лишая прообраза целый пучок прямых, проходящих как раз через эту точку (их прообразами были точки той прямой). Эта биекция была хорошей, непрерывной, так что если начать её пытаться поправить для аффинного пространства, получится что-то явно разрывное.

И по-моему никакой непрерывной биекции не будет (но не помню аргумент). Потому лучше не надеяться на явное построение, оно необходимо будет хитрым и намного менее наглядным.

(А при чём здесь была кстати окружность? Это хороший вопрос.)

[svv]

Sinoid в сообщении #1508097 писал(а):

Кстати, не исключено, что в результате этих поисков я найду все равно биекцию, пусть и другую.

Да! Допустим, не удалась попытка построить биекцию между бесконечными множествами $A$ и $B$. А нашлась только биекция между $A$ и $B'\subset B$. Это совершенно не означает, что биекции между $A$ и $B$ не существует. Хотя может показаться: ну какая биекция, если у $B$ есть лишние элементы?

(Пример)

$A$ — множество натуральных чисел, больших $100$.
$\mathbb N$ — множество натуральных чисел.
Если каждому $a\in A$ поставить в соответствие равный ему элемент из $\mathbb N$, получится лишь инъекция. Но вот если...

С другой стороны, доказательство равномощности не обязательно сводится к построению биекции. См. теорему Кантора-Бернштейна (пункт 1.5 в книге Шеня). В задаче 38 по условию требовалось указать биекцию, в задаче 39 нет.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508097 писал(а):

Я просто утверждаю, что после сказанного в указании, без конкретного описания множеств точек и прямых исключений слово "всех" в условии задачи становится ровным счетом ничего не значащим.

Вы считаете указание существенной частью условия, это неправильный способ читать задачи.
Условие задачи полностью сформулировано в собственно условии. Указание - это неформальная подсказка, указывающая на один из способов решения: начать с построения биекции с "небольшими исключениями". Дальше нужно будет как-то это отображение поправить, чтобы оно стало полноценной биекцией.

arseniiv в сообщении #1508108 писал(а):

И по-моему никакой непрерывной биекции не будет (но не помню аргумент)

А какая топология на множестве прямых?

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1508112 писал(а):

А какая топология на множестве прямых?

Я представлял какую-нибудь связанную с топологией самой плоскости, что-нибудь например такое, где прямые тем ближе, чем меньше между ними расстояние или угол (по идее это будет работать и без евклидовой структуры), должно получаться вроде всегда одно и то же, хотя уверенности у меня нет.

Более удовлетворительная конструкция: пусть наше аффинное пространство $A$ вложено в какое-то топологическое векторное пространство $V$ (и вложено с коразмерностью 1). На $\wedge^2 V$ по идее тоже должна быть топология: берём окрестность нуля в $V$, составляем всевозможные внешние произведения её элементов и получаем или почти получаем окрестность нуля для $\wedge^2 V$; ну и отсюда у нас будут топология на точках и на прямых $A$ через пересечение. Хотя я и тут не очень уверен, что это доводится до ума.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1508097 писал(а):

А, может, оно равномощно континиууму?

Да. Думаю, при любом "разумном" способе занумеровать прямые парами чисел останется континуум "особых" прямых. Например, если паре $(a,b)$ сопоставить прямую $y=ax+b$, то вертикальные прямые $x=c$ выпадают, а если сопоставлять прямую $ax+by=1$ --- то те, которые проходят через начало координат (а паре $(a,b)=(0,0)$ вообще никакая прямая не соответствует).

Еще насчет "указания". В книжках для детей (скажем, А.В.Спивак, 1001 задача по математике), иногда к задачам даются подсказки. Так и написано "подсказка". И "указание" там тоже пишут. А в английских книжках вообще hint, что значит "намёк". Подсказка, указание и намёк --- это в данном случае почти синонимы.

-- 06.03.2021, 17:21 --

(Оффтоп)

Проективная плоскость ${\mathbb R}P^2$ --- это множество прямых в ${\mathbb R}^3$, проходящих через начало координат. Прямые в ${\mathbb R}P^2$ --- это плоскости в ${\mathbb R}^3$, проходящие через начало. Топология в ${\mathbb R}P^2$ --- через угол между прямыми; на множестве прямых в ${\mathbb R}P^2$ --- через угол между плоскостями. На множестве прямых в ${\mathbb R}^2$ --- ограничение таковой с ${\mathbb R}P^2$.