Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"

[vpb]

Правильно, но крайне сложно.
Докажем, индукцией по $n$, что $B=A_1\triangle \ldots\triangle A_n$ состоит из тех $x$, для которых число содержащих их множеств $A_i$ нечетно. Надо доказать, что если $x$ содержится в нечетном числе множеств $A_i$, то $x\in B$, а если в четном, то $x\notin B$. Докажем первое из этих утверждений. Пусть $C=A_1\triangle \ldots\triangle A_{n-1}$. Может быть два случая: либо $x$ лежит в нечетном числе среди $A_1,\ldots, A_{n-1}$, и $x\notin A_n$, либо в четном числе среди $A_1,\ldots, A_{n-1}$, и $x\in A_n$. Рассмотрим первый случай. По предположению индукции, $x\in C$. А также $x\notin A_n$. Значит, $x$ лежит в $B=C\triangle A_n$. Остальные случаи разбираются аналогично.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1507406 писал(а):

Докажем, индукцией по $n$, что $B=A_1\triangle \ldots\triangle A_n$ состоит из тех $x$, для которых число содержащих их множеств $A_i$ нечетно. Надо доказать, что если $x$ содержится в нечетном числе множеств $A_i$, то $x\in B$, а если в четном, то $x\notin B$. Докажем первое из этих утверждений. Пусть $C=A_1\triangle \ldots\triangle A_{n-1}$. Может быть два случая: либо $x$ лежит в нечетном числе среди $A_1,\ldots, A_{n-1}$, и $x\notin A_n$, либо в четном числе среди $A_1,\ldots, A_{n-1}$, и $x\in A_n$. Рассмотрим первый случай. По предположению индукции, $x\in C$. А также $x\notin A_n$. Значит, $x$ лежит в $B=C\triangle A_n$. Остальные случаи разбираются аналогично.

Спасибо большое за подробное решение.

vpb в сообщении #1507406 писал(а):

но крайне сложно.

Еще, когда я учился в школе мне, учительница, привившая мне любовь к математике, часто, когда я показывал решение более-менее сложной задачи по геометрии, говорила эти слова.

vpb в сообщении #1507406 писал(а):

Правильно

Ага, спасибо большое за рецензию на решение. А то был в непонятках: правильно решил, неправильно, можно это применять в будущем, нельзя... В общем, полная неясность... Ну, вот, с симметрической разностью окончательно разобрались, теперь можно двигаться дальше.

Спасибо!

[vpb]

Пожалуйста.

[Sinoid]

(Оффтоп)

:-)

[Sinoid]

Пытаюсь решить задачу 39:

В голову приходит уравнение прямой в отрезках. А именно, пусть на плоскости введена прямоугольная система координат. Тогда
точке $(a,\, b)$, где обе координаты ненулевые, ставим в соответствие прямую $\dfrac{x}{\vphantom{b}a}+\dfrac{y}{b}=1$;
точке $(a,\, 0)$, где $a\not=0 $ - прямую $\dfrac{x}{\vphantom{b}a}=1$;

точке $(0,\, b)$, где $b\not=0$ - прямую $\dfrac{y}{b}=1$
Тогда получится, что без соответственной прямой остается точка (0, 0) (что, между прочим, исправимо на проективной плоскости - на ней этой точке ставим в соответствии несобственную прямую), а без соответственных точек остаются оси координат. Скажите, пожалуйста, это эти точка и прямые имеются ввиду в указании к задаче?

[vpb]

Бог весть, что авторы в виду имели у себя в головах. Вообще говоря, есть много способов параметризовать прямые (точнее, "почти все" прямые ) парами чисел.

[Nemiroff]

Sinoid в сообщении #1507969 писал(а):

без соответственных точек остаются оси координат

Почему оси? Пучок.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1507971 писал(а):

Бог весть, что авторы в виду имели у себя в головах.

Ну, так это, получается, и есть недоработка авторов, некорректно сформулированная задача. А я б над ней голову ломал Бог весть сколько времени: я-то думал бы, что это я недогоняю. Ой, как хорошо, когда есть, у кого спросить, теперь со спокойной душой пойду дальше. Давно у меня эта задача сидела в голове, а в Инете не хотел искать: там, даже, если бы и нашел, стопудово, было бы сразу готовое решение. Спасибо вам!

-- 05.03.2021, 22:08 --

Nemiroff в сообщении #1508024 писал(а):

Sinoid в сообщении #1507969 писал(а):

без соответственных точек остаются оси координат

Почему оси? Пучок.

Почему? Прямой, параллельной оси $x$ - $\dfrac{y}{b}=1$ при $b\not=0$ соответствует единственная точка - $(0,\, b)$. Разве, нет? Впрочем, я припоминаю, что при прошлых попытках решения этой задачи у меня получалась проблема вроде указанной вами.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508025 писал(а):

Ну, так это, получается, и есть недоработка авторов, некорректно сформулированная задача

Задача сформулирована корректно: доказать равномощность двух множеств. Указание не обязано быть однозначно формализуемым.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1508025 писал(а):

Ну, так это, получается, и есть недоработка авторов, некорректно сформулированная задача.

Пожалуйста, только никакой недоработки тут нет. Вы, видимо, неправильно понимаете смысл слова "указание". Указание к задаче --- это же не часть условия. Это просто некий намек. Вроде тех, что тут на форуме даются. Да хоть вообще на него глаза закройте. (Как Гоголь, который как-то написал, что для сохранения душевного спокойствия "ко всякого рода намекам надлежит быть совершенно глуху". Это он, правда, несколько утрировал.) Представьте себе, что указания нет, а есть просто условие "Доказать, что множество прямых на плоскости равномощно множеству точек."

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508027 писал(а):

Указание не обязано быть однозначно формализуемым.

Ну, так, а решать-то такую задачу, с неоднозначно формализуемым указанием, как???

-- 05.03.2021, 22:25 --

vpb в сообщении #1508028 писал(а):

Представьте себе, что указания нет, а есть просто условие "Доказать, что множество прямых на плоскости равномощно множеству точек."

Представил. Только без этого указания человек, даже, если бы получил правильное решение, имел бы полное основание считать, что окончательного решения у него как не было, так и нет: биекция между абсолютно всеми точками и абсолютно всеми прямыми так и не получена.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1508029 писал(а):

Ну, так, а решать-то такую задачу, с неоднозначно формализуемым указанием, как???

Так вы ж указанию вообще следовать не обязаны.

-- 05.03.2021, 20:29 --

Sinoid в сообщении #1508029 писал(а):

биекция между абсолютно всеми точками и абсолютно всеми прямыми так и не получена.

Вам и не надо ее получать в конкретном виде, согласно условию. Надо только доказать равномощность множеств.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1508030 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508029 писал(а):

Ну, так, а решать-то такую задачу, с неоднозначно формализуемым указанием, как???

Так вы ж указанию вообще следовать не обязаны.

Так это уже подмена одной задачи другой. Так доподменяться до чего угодно можно. Например, доподменяться до того, чтобы получить такую задачу, в которой требуется доказать, что $1+1=2$.

-- 05.03.2021, 22:38 --

vpb в сообщении #1508030 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508029

писал(а):
биекция между абсолютно всеми точками и абсолютно всеми прямыми так и не получена. Вам и не надо ее получать в конкретном виде, согласно условию. Надо только доказать равномощность множеств.

Это я к слову сказал, что не получена биекция. Ну, да, не доказана равномощность.

[vpb]

Я думаю, вам эту ситуацию лучше некоторое время пообдумывать самостоятельно. Как говорится, утро вечера мудренее.

[Sinoid]

В смысле, да, указанию я следовать необязан, но это при однозначно интерпретируемой формулировке содержания доказываемого утверждения, объектов, участвующих в утверждении. Если же такого нет, указание и раскрывает полностью содержание этого всего.

-- 05.03.2021, 22:51 --

vpb в сообщении #1508032 писал(а):

Я думаю, вам эту ситуацию лучше некоторое время пообдумывать самостоятельно. Как говорится, утро вечера мудренее.

Потом мне станет не с кем это обсуждать.