2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение08.01.2021, 18:58 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
Andrey A в сообщении #1499711 писал(а):
P.S. Добавлю еще, что из $a^2-b^2+c^2=1$ следует
$(a^2-b^2-c^2)^2-(2bc)^2+(2ac)^2=1$
$(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2+(2ac)^2=1$
Значит, из любого решения можно строить бесконечные серии решений.

Красивое наблюдение. Сразу бы так. Континуанты в это теме - не стоит.

nnosipov, замечание о параметрах справедливое, но в условии задачи Кармайкл спрашивал о 2-х параметрах, так что будем следовать (и следуем) в решении формулировке классика.

У меня ещё одна задача. Предлагается найти 2-параметрическое решение в натуральных числах $x,y,z,r,u,v,w,S$ системы уравнений
$x^2+y^2+z^2=S^2, r^2+u^2+v^2+w^2=S^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение08.01.2021, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1244
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1499729 писал(а):
системы уравнений
$x^2+y^2+z^2=S^2, r^2+u^2+v^2+w^2=S^2$


Возьмем $S=A^2+B^2+C^2=E^2+F^2+G^2+H^2.$ Для него выполняется:

$S^2=\left ( 2AC \right )^2+\left ( 2BC \right )^2+\left ( A^2+B^2-C^2 \right )^2=$ $\left ( 2EH \right )^2+\left ( 2FH \right )^2+\left ( 2GH \right )^2+\left ( E^2+F^2+G^2-H^2 \right )^2.$

Дело сводится к равенству сумм $3$-х и $4$-х квадратов. Можно так:

$S=(2bn)^2+(2dn)^2+(a^2-b^2+c^2-d^2+k^2+n^2 )^2=$ $(2an)^2+(2cn)^2+(2kn)^2+(a^2-b^2+c^2-d^2+k^2-n^2 )^2$ (тождество).

Исправлено.09.01

Ну, а снизить кол-во параметров до двух не проблема. Вам ведь не нужно общее решение.

P.S.
Ограничение по количеству параметров содержательно для уравнений в рациональных числах, в целых же такое требование мне кажется странным. Иной раз с водой можно выплеснуть и младенца.
$(2ab+1)^2-(ab^2+a+b)^2+(ab^2-a+b)^2=1.$ Континуанты, обрезанные до двух знаков. Можно было обрезать до трех знаков (если хочется посложнее), или до семи. Что с того? Неполное решение остается неполным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение09.01.2021, 13:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
Решение Andrey A принимается.
А в виду имелось получение симпатичного тождества
$(1+a+b+ab+a^2+b^2)^2\equiv((a+b)(1+a))^2+((a+b)(1+b))^2+(1+a+b-ab)^2\equiv(a(a+b+1))^2+(b(a+b+1))^2+(a+b+1)^2+(a+b+ab)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение09.01.2021, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1244
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1499857 писал(а):
$(1+a+b+ab+a^2+b^2)^2\equiv((a+b)(1+a))^2+((a+b)(1+b))^2+(1+a+b-ab)^2\equiv(a(a+b+1))^2+(b(a+b+1))^2+(a+b+1)^2+(a+b+ab)^2$

Так там равенство. Непонятно зачем значки сравнения. Хотя, верно по любому модулю, ошибки в том нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение09.01.2021, 15:41 
Аватара пользователя


26/02/14
182
so dna
scwec в сообщении #1499729 писал(а):
Предлагается найти 2-параметрическое решение в натуральных числах $x,y,z,r,u,v,w,S$ системы уравнений
$x^2+y^2+z^2=S^2, r^2+u^2+v^2+w^2=S^2$

Из вашего тождества легко получить и 2-х параметрическое решение системы
$S^2=p^2+q^2=x^2+y^2+z^2=r^2+u^2+v^2+w^2$

$(b^4+2ab^3+4a^2b^2+2a^3b+a^4)^2=\\
(2ab(b^2+ab+a^2))^2+((b+a)^2(b^2+a^2))^2=\\
((b-a)(b+a)^3)^2+(2ab(b+a)^2)^2+(2ab(b^2+ab+a^2))^2=\\
(a^3(a+2b))^2+(ab(a+2b)(b+2a))^2+(b^2a(a+2b))^2+(b(b^3+2ab^2-2a^3))^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение09.01.2021, 16:58 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
Andrey A
$\equiv$ тождественное равенство, общепринятый знак, чтобы обратить внимание на то, что равенство выполняется при любых значениях переменных. Используется по желанию.
Rak so dna в сообщении #1499884 писал(а):
Из вашего тождества легко получить и 2-х параметрическое решение системы
$S^2=p^2+q^2=x^2+y^2+z^2=r^2+u^2+v^2+w^2$

Да, всё верно.
Замечу также, что по словам А.Н.Колмогорова простые тождества могут стоять за построением сложных теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение09.01.2021, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1244
Санкт-Петербург
Интересно. Я-то думал, что значек придумал Гаусс для своей теории сравнений. Ему советовали писать "$=$" с припиской $(\mod m)$, но он во избежании путаницы оставил "$\equiv$". И действительно началась путаница )

(Оффтоп)

Михаил Ильич тут же пошел к капитану узнавать, что нам хотят сказать американцы. Оказалось, они предупреждали насчет шторма. По их сведениям, в самом скором времени должен был разбушеваться шторм.
– Провокация или нет? – спросил самого себя капитан.
– Конечно, провокация! – уверенно заявил генерал.
И действительно, шторм оказался неуместной провокацией. Нас бросало туда-сюда часов десять.

А.Житинский. Подданный Бризании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение12.02.2021, 23:20 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
Приведу пример для суммы пяти биквадратов.
$12^4+16^4+24^4+36^4+63^4=65^4$

Предлагаю найти 2-параметрическое решение в натуральных числах для уравнения $x^4+y^4+z^4+u^4+v^4=w^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение13.02.2021, 10:19 


23/01/07
3322
Новосибирск

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1498825 писал(а):
Интересно, как выглядит полное решение. Кармайкл этого, правда, не спрашивает.
Задача из упражнений в его книге "Diophantine analysis".

Предполагаю, что данная задача у Кармайкла была как-то увязана с простыми-близнецами.
Например, если $p=x+1; q=x-1$ - простые, то их произведение нельзя представить в виде разности квадратов двух целых чисел более, чем двумя способами: $$N=x^2-1=z^2-y^2$$
$$N=p\cdot q=(\frac {p+q}{2})^2-(\frac {p-q}{2})^2 = (\frac {pq+1}{2})^2-(\frac {pq-1}{2})^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение13.02.2021, 17:56 
Аватара пользователя


26/02/14
182
so dna
scwec в сообщении #1504892 писал(а):
Предлагаю найти 2-параметрическое решение в натуральных числах для уравнения $x^4+y^4+z^4+u^4+v^4=w^4$
$(4a^4+b^4)^4 = (4a^4-b^4)^4 + (4a^3b)^4 + (4a^3b)^4 + (2ab^3)^4 + (2ab^3)^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение13.02.2021, 19:40 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
Батороев в сообщении #1504921 писал(а):
Предполагаю, что данная задача у Кармайкла была как-то увязана с простыми-близнецами.

В цитируемой выше книге Кармайкла простые числа близнецы не упоминаются.

Параметрическое решение,предложенное Rak so dna, верное.
Но из него не получается пример, мной приведенный.
Найдите 2-параметрическое решение, из которого этот пример получится при каком-то значении параметров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение14.02.2021, 18:18 


23/01/07
3322
Новосибирск

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1504986 писал(а):
В цитируемой выше книге Кармайкла простые числа близнецы не упоминаются.

Тогда могло быть привязано к псевдопростым-близнецам (псевдопростым по основанию $2$). Впрочем, это всего лишь мои догадки. И дальше мешать не буду... но буду с интересом следить за дальнейшим рассмотрением темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение15.02.2021, 00:28 


20/04/10
738
Русь
$ 12^4(x^2+10 x y-3 y^2)^4+24^4 (x^2-4 x y-3 y^2)^4+12^4 (3 x^2+2 x y-9 y^2)^4+
16^4 (x^2+3 y^2)^4+63^4 (x^2+3 y^2)^4=65^4 (x^2+3y^2)^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение15.02.2021, 11:21 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
lel0lel, да, это в точности предполагаемый ответ.
Теперь увеличим число слагаемых.
Предлагается найти шесть различных биквадратов, сумма которых тоже биквадрат.
Кстати, это также из упражнений книги Кармайкла

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение26.02.2021, 15:03 
Заслуженный участник


17/09/10
2026
scwec в сообщении #1505109 писал(а):
Предлагается найти шесть различных биквадратов, сумма которых тоже биквадрат.

Вот пример для шести биквадратов в левой части и одним в правой части
$90^4+135^4+150^4+180^4+272^4+300^4=353^4$.
Примеров бесконечно много.
Предлагается найти 2-параметрическое решение в целых числах уравнения $x^4+y^4+z^4+u^4+w^4+s^4=r^4$,
из которого следует приведенный пример при некотором значении параметров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group