Уравнение x^2+y^2-z^2=1

[scwec]

Вот 2-параметрическое решение уравнения $x^4+y^4+z^4+u^4+w^4+s^4=r^4$ в целых числах

$x = 2{m^{15}}n-8{m^{11}}{n^5}-32{m^7}{n^9}+128{m^3}{n^{13}}$

$y = m^{16}-8{m^{12}}{n^4}+128{m^4}{n^{12}}-256{n^{16}}$

$z = 8{m^{11}}{n^5}-32{m^7}{n^9}+2{m^{15}}n-128{m^3}{n^{13}}$

$u = 4{m^{13}}{n^3}-16{m^9}{n^7}-64{m^5}{n^{11}}+256m{n^{15}}$

$w = 256{m^4}{n^{12}}+16{m^{12}}{n^4}$

$s = 16{m^9}{n^7}-64{m^5}{n^{11}}+4{m^{13}}{n^3}-256m{n^{15}}$

$r = {m^{16}}+96{m^8}{n^8}+256{n^{16}}$
Получается оно из тождества $(M^4+N^4)^4=(M^4-N^4)^4+(2MN^3)^4+8{M^4}{N^4}(M^8-N^8)$ и замены $M=m^4+4n^4, N=m^4-4n^4$

При $m=n=1$ получаем приведенное выше равенство для суммы шести биквадратов $90^4+135^4+150^4+180^4+272^4+300^4=353^4$
Теперь рассмотрим классическое равенство для суммы четырех биквадратов $30^4+120^4+272^4+315^4=353^4$
(R.Norrie 1911 г.и, кажется, это единственный известный пример представления биквадрата суммой четырех биквадратов).
Поскольку в правых частях этих равенств чудесным образом оказалось одно и то же число $353^4$ ($353$ - простое число),
а в левых частях имеется одно и то же $272^4$ и все остальные числа делятся на $15^4$, то получается равенство
$2^4+8^4+21^4=6^4+9^4+10^4+12^4+20^4=198593$. И это число опять простое.
Таким образом, имеется простое число $353$ в степени 4, равное сумме 6 биквадратов и оно же равное сумме 4 биквадратов, и, как следствие в данном случае, имеется простое число $198593$, равное сумме трех биквадратов и оно же, равное сумме пяти биквадратов.
Это уже нумерология какая-то.
Любопытно повычислять, имеются ли простые числа, меньшие чем $198593$, представимые в виде суммы трех биквадратов и одновременно представимые в виде суммы пяти биквадратов.

[vlad239]

scwec в сообщении #1508559 писал(а):

Любопытно повычислять, имеются ли простые числа, меньшие чем $198593$, представимые в виде суммы трех биквадратов и одновременно представимые в виде суммы пяти биквадратов.

Да. Минимальное из них $9043=9^4+7^4+3^4=5^4+5^4+6^4+7^4+8^4$.
Список до 200000 таков
9043 11953 14723 14753 17123 21283 29363 31393 43283 50593 61553 79187 90163 96643
104033 104723 106273 112163 114833 130483 136883 136963 137633 143443 145043
165443 185153 188753 194483 198593 198833 199873

17123 - минимальное, где все слагаемые различны

[scwec]

Ответ vlad239 на заданный вопрос исчерпывающий.
Можно также найти некоторое 2-параметрическое решение в целых числах уравнения $x^4+y^4+z^4=u^4+v^4+w^4+r^4+s^4$.
В соответствии с ним простое число $173269987228765774461115603704812043581660993$ представимо и суммой 3-х биквадратов и суммой 5-и биквадратов.
Предлагается найти это представление.

[scwec]

Частное решение.
$95800^4+217519^4+414560^4+114730908416^4+5037734912^4=422481^4+114730631168^4+6939378944^4=173269987228765774461115603704812043581660993$

Теперь уже просто догадаться, какое 2-параметрическое решение имелось в виду.