2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение03.01.2021, 18:52 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Найдите 2-параметрическое решение уравнения $x^2+y^2-z^2=1$ в целых числах $x,y,z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение03.01.2021, 19:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ну, например $x=2ab-1$, $y=ab^2-a-b$, $z=ab^2+a-b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение03.01.2021, 19:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Или так:
$x=a^2+{a^3}b+b^2-{b^3}a$
$y=2a^2{b^2}-1$
$z=a^2+{a^3}b-b^2+{b^3}a$
Интересно, как выглядит полное решение. Кармайкл этого, правда, не спрашивает.
Задача из упражнений в его книге "Diophantine analysis".

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение03.01.2021, 20:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1498825 писал(а):
Интересно, как выглядит полное решение.
Вряд ли сколь нибудь хорошо. Хотя ... Это же можно записать в виде $(x-1)(x+1)=(z-y)(z+y)$ и дальше чего-нибудь помудрить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение03.01.2021, 20:55 


20/04/10
1776
scwec в сообщении #1498825 писал(а):
как выглядит полное решение
Эйлер:
$
(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2
$
Полагая $ac-bd=\pm 1$, получаем полное решение рассматриваемого уравнения. Последнее в параметрической форме решить не получится --- факторизация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение03.01.2021, 21:06 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1498862 писал(а):
scwec в сообщении #1498825
писал(а):
Интересно, как выглядит полное решение. Вряд ли сколь нибудь хорошо.

lel0lel в сообщении #1498871 писал(а):
Последнее в параметрической форме решить не получится --- факторизация.


Соглашусь с этим. Решение в целых числах получить в частной форме - пожалуйста (два приведенных решения), а полное параметризованное решение - не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение04.01.2021, 17:50 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Найдем бесконечную серию целых 2-параметрических решений исходного уравнения.
Сначала, используя метод секущих, найдем 2-параметрическое решение в рациональных числах и запишем его в виде
$x=m+\frac{n(m^2-1)}{m^2+1}, y=1+\frac{2mn}{m^2+1}, z=m+n$, где $m,n$ - рациональные параметры.
Отсюда видно, что полагая $n=k(m^2+1)^s$ ($s$ натуральное, $m,n,k$ целые числа) находится решение в целых числах
$x=m+k(m^2-1)(m^2+1)^{s-1}, y=1+2km(m^2+1)^{s-1}, z=m+k(m^2+1)^s$.
Для каждого $s$ имеем 2-параметрическое решение исходного уравнения в целых числах.
Для $s=1$ получаем решение, указанное nnosipov.
Следующее решение для $s=2$
$x = m+km^4-k, y = 1+2{m^3}k+2mk, z = m+km^4+2km^2+k$, ну и т.д. Получается бесконечная серия нужных решений.
Решение, предложенное мной, в эту схему не укладывается, поскольку нужно допустить не целые $m,n$,
хотя на выходе получатся целые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение04.01.2021, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1498815 писал(а):
Уравнение $x^2+y^2-z^2=1$

Если положить $\gcd (x,y)=1$, решение строго формализуется в континуантах: $$[a_{n-1},...,a_2,2a_1,a_2,...a_{n-1},a_n]^2+[a_{n-1},...,a_2,a_1-1,1,a_1-1,a_2,...,a_n]^2-[a_{n-1},...,a_1,a_1,...,a_{n-1},a_n]^2=1$$ Я не знаю сколько оно параметрическое, но равенство $45^2+35^2-57^2=1$ таким способом не выразить: $\gcd (45,35)=5$. А так задача становится не то чтобы сложной, но мутной. Надо брать аргументом пифагорову тройку, и далее без уточнений не обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение04.01.2021, 22:50 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Andrey A в сообщении #1498952 писал(а):
но равенство $45^2+35^2-57^2=1$ таким способом не выразить

Но с помощью формул для рациональной параметризации, приведенных выше, это равенство благополучно разрешается:
$m=17/6,n=325/6,x=45,y=35,z=57$,
$m=-1/3,n=-170/3,x=45,y=35,z=-57$
$m=2,n=55,x=35,y=45,z=57$
$m=-11/23,n=-1300/23,x=35,y=45,z=-57$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение05.01.2021, 00:20 


20/04/10
1776
Пусть $a\in \mathbb{N}$ и $(a,d)=1$. Определим целые $m=d^{\varphi(a)-1}\bmod{a}$ и $n=(m d-1)/a.$ Тогда
$$(2d(k a\mp m)\pm 1)^2+(ad-(k a\mp m)(kd\mp n))^2-(ad+(k a\mp m)(kd\mp n))^2=1.$$Здесь независимые параметры это $a,d,k$.

Можно получать неполные трёхпараметрические решение без функции Эйлера:
$$(2 b d k (b d-1)-2 b d\pm 1)^2+(d k (b d-1)^2\mp d(bd-1)-b(bdk\mp 1))^2-(d k (b d-1)^2\mp d(bd-1)+b(bdk\mp1))^2=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение05.01.2021, 15:31 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Комментарии. Решения lel0lel интересные, а соображения Andrey A романтичные.
Теперь, если в правой части исходного уравнения заменить $1$ на $r^2$ - фиксированное целое число, то бесконечная серия 2-параметрических целых решений годится и в этом случае. Выглядит она так
$x=m+(m^2-r^2)k(m^2+r^2)^{s-1}$
$y=r+2mrk(m^2+r^2)^{s-1}$
$z=m+k(r^2+m^2)^s$
Заменим в правой части $1$ на произвольное фиксированное целое $r$.
В этом случае существуют целые 1-параметрические решения разные для четных и нечетных $r$
1. $r=2N, x=(2t+1),y=(2t^2+2t-N),z=(2t^2+2t-N+1)$
2. $r=2N-1, x=2t, y=2t^2-N,z=2t^2-N+1$
Из них можно изготовить 2-параметрические решения, но уже в рациональных числах.
Из интереса предлагаю это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение08.01.2021, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec
Всё-таки $x^2+y^2-z^2=1$ полностью сводится к уравнению $AX-BY=\pm 2$ со вз. простыми параметрами $A,B$ и одночетными переменными $X,Y$: $$x=\dfrac{AX+BY}{2},y=\dfrac{AY-BX}{2},z=\dfrac{AY+BX}{2}.$$ Можно попробовать выписать второе выражение в континуантах, но не хочу мудрить. Тут $\gcd \left ( \left | x+1 \right |,\left | z+y \right | \right )=A, \gcd \left ( \left | x-1 \right |,\left | z-y \right | \right )=B,$ вроде бы так. Попробуйте задать контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение08.01.2021, 17:18 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Andrey A в сообщении #1499656 писал(а):
Всё-таки $x^2+y^2-z^2=1$ полностью сводится к уравнению $AX-BY=\pm 2$ со вз. простыми параметрами $A,B$ и одночетными переменными $X,Y$: $$x=\dfrac{AX+BY}{2},y=\dfrac{AY-BX}{2},z=\dfrac{AY+BX}{2}.$$

Но рациональные формулы в 2-праметрическом решении для $x,y,z$ должны содержать только два параметра и никаких новых переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение08.01.2021, 17:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Здесь разумно ожидать 3 целочисленных параметра (потому что это поверхность, а значит, параметризуется 2 рациональными параметрами, а два рациональных числа можно задать 3 целыми). Но эти 3 параметра не будут независимы, будет некое условие типа сравнения по модулю. Разрешив это сравнение явно (при любом фиксированном значении 3-го параметра), получим сколь угодно много конкретных 2-параметрических семейств решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+y^2-z^2=1
Сообщение08.01.2021, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1499695 писал(а):
рациональные формулы в 2-праметрическом решении для $x,y,z$ должны содержать только два параметра

Это будут два выражения в континуантах (второе для нечетной пары $X,Y$). Они во-первых "романтичные" по Вашему выражению, во-вторых $n-$параметрические. Выписывать?

P.S. Добавлю еще, что из $a^2-b^2+c^2=1$ следует
$(a^2-b^2-c^2)^2-(2bc)^2+(2ac)^2=1$
$(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2+(2ac)^2=1$
Значит, из любого решения можно строить бесконечные серии решений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group