Производная обратной функции (теорема из книги Зорича)

[Whitaker]

Здравствуйте!
Возник следующий вопрос: готовлюсь к лекциям по книжке В.А.Зорича и натолкнулся на следующую теорему, где как мне кажется одно предположение является избыточным.

Теорема 3 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции $f:X\to Y, f^{-1}:Y\to X$ взаимно обратны и непрерывны в точках $x_0\in X$ и $f(x_0)=y_0\in Y$ соответственно. Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$ и $f'(x_0)\neq 0$, то функция $f^{-1}$ также дифференцируема в точке $y_0$, причем

$$(f^{-1})'(y_0)=(f'(x_0))^{-1}.$$

Я напишу более подробное доказательство, чем автор и попытаюсь обьяснить какое условие является лишним, на мой взгляд.

Доказательство: Так как функция $f$ дифференцируема в точке $x_0\in X$, то существует производная в данной точке: $f'(x_0)=\lim \limits_{X\setminus x_0 \ni x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ и так как $f'(x_0)\neq 0$ и для всех $x\in X\setminus x_0$ имеем $f(x)\neq f(x_0)$, тогда

$$\frac{1}{f'(x_0)}=\lim \limits_{X\setminus x_0 \ni x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}.$$

Моя цель показать, что

$$\frac{1}{f'(x_0)}=\lim \limits_{Y\setminus y_0 \ni y\to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}.$$

Чтобы это сделать воспользуемся теоремой о пределе композиции функций (теорема 5, стр. 122, том 1, Зорич). Пусть $Y$-множество, $\mathcal B_Y$ - база в $Y$, $g:Y\to \mathbb{R}$ - отображение, имеющее предел по базе $\mathcal B_Y$.
Пусть $X$ - множество, $\mathcal B_X$ - база в $X$ и $f:X\to Y$ - такое отображение, что для любого элемента $B_Y\in \mathcal B_Y$ базы $\mathcal B_Y$ найдется элемент $B_X\in \mathcal B_X$ базы $\mathcal B_X$, образ которого $f(B_X)$ содержится в $B_Y$.

При этих условиях композиция $g\circ f:X\to \mathbb{R}$ отображений $f$ и $g$ определена, имеет предел по базе $\mathcal B_X$ и $\lim \limits_{\mathcal B_X} (g\circ f)(x)=\lim \limits_{\mathcal B_Y} g(y).$

Чтобы правильно воспользоваться данной теоремой рассмотрим отображения: $F: X\setminus x_0\to \mathbb{R}$ заданное $F(x)=\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}$ и $\varphi:Y\setminus y_0\to X\setminus x_0$ по формуле $\varphi(y)=f^{-1}(y)$. Нам нужно показать, что для любого элемента $B_X$ базы $X\setminus x_0 \ni x\to x_0$ найдется элемент $B_Y$ базы $Y\setminus y_0 \ni y\to y_0$ такой, что $\varphi(B_Y)\subset B_X$. А это следует непосредственно из того, что $f^{-1}$ непрерывны в точке $y_0\in Y$.

На этом заканчивается доказательство теоремы.

Я хочу обратить Ваше внимание на то, что фактически мы нигде не воспользовались тем, что функция $f$ непрерывна в $x_0$, а воспользовались более сильным условием, а именно тем, что она дифференцируема. Так что я думаю, условие непрерывности $f$ в точке $x_0\in X$ можно просто убрать из теоремы.

Подтвержите пожалуйста, я прав или нет? Благодарю за Вашу помощь!

[mihaild]

Уже обсуждалось «Производная обратной функции». Да, из дифференцируемости в точке автоматически следует непрерывность в этой точке, так что это условие можно убрать.

[vpb]

Я бы, доведись мне эту теорему излагать по книжке Зорича, сформулировал бы так.

Теорема (о производной обратной функции). Пусть $X, Y\subseteq{\mathbb R}$ --- два подмножества в ${\mathbb R}$, и $f\colon X\longrightarrow Y$ --- функция, биективно отображающая $X$ на $Y$, а $f^{-1}\colon Y\longrightarrow X$ --- обратная к ней. Пусть $f(x_0)=y_0$, где $x_0$ --- точка из $X$, являющаяся вместе с тем предельной точкой для $X$. Предположим, что $f$ дифференцируема (а потому и непрерывна) в $x_0$, а $f^{-1}$ непрерывна в $y_0$. Наконец, предположим, что $f'(x_0)\ne0$. Тогда $y_0$ является пердельной точкой для $Y$, и $f^{-1}$ дифференцируема в $y_0$, причем $(f^{-1})'(y_0)=1/f'(x_0)$.

-- 23.02.2021, 06:46 --

И, по моему, с базами --- это как-то сложно. Посмотрел сейчас в Камынине --- там тоже довольно сложно. А ведь просто доказывается, на языке эпсилон-дельта. Что-то не то с преподаванием матана нынче ...

Цитата:

Прогнило что-то в королевстве датском.

Попробую сейчас по своему написать (если получится).

[vpb]

На классическом языке эпсилон-дельта как-то пока не совсем удачно получается (то есть получается конечно, но как-то длинновато... может позже выложу). Но вот начало выложу сейчас.

Доказательство. Сначала докажем, что $y_0$ --- предельная точка для $Y$. Возьмем любое $\varepsilon >0$. В силу непрерывности $f$ существует $\delta>0$ такое, что $|f(x)-y_0|=|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ при любом $x\in X$, $x\ne x_0$, таком, что $|x-x_0|<\delta$. Поскольку $x_0$ --- предельная точка для $X$, то существует $x$ такое, что $x\in X$, $x\ne x_0$, $|x-x_0|<\delta$. Тогда $|f(x)-y_0|<\varepsilon$. А кроме того, $f(x)\ne y_0$, поскольку $f$ инъективно. Значит, $y=f(x)$ лежит в $Y$, $|y-y_0|<\varepsilon$, и $y\ne y_0$. Поскольку такое $y$ существует для любого $\varepsilon>0$, это и значит, что $y_0$ --- предельная точка для $Y$.

(Вот, видим, где оказалось необходимым использовать непрерывность, не вспоминая пока про дифференцируемость. Так что гипотеза о том, что Зорич там про непрерывность $f$ зря написал --- неверна. А если не доказать, что $y_0$ --- предельная точка для $Y$, то тем самым и вопрос про дифференцируемость $f^{-1}$ в $y_0$ поставить нельзя ... понятно, да ?)

-- 23.02.2021, 09:20 --

Whitaker в сообщении #1506090 писал(а):

На этом заканчивается доказательство теоремы.

Вы еще в середине доказательства фразу пропустили (забыли написать, что отношение для $(f^{-1})'(y_0)$ получается суперпозицией $\varphi$ и $F$).

-- 23.02.2021, 09:35 --

Ой, а у Зорича у самого доказательство стрёмное, сейчас посмотрел, там момент про предельную точку опущен ... странно. Может быть, он сам откуда-то заимствовал недостаточно аккуратно ?

А также, по-моему, вообще лучше это всё трактовать для студентов в классической постановке, как у Фихтенгольца или Камынина, то есть: $f$ --- непрерывная монотонная функция на интервале. И т.д.

-- 23.02.2021, 09:45 --

Наконец отмечу, что при изложении для студентов условие непрерывности $f$ нельзя опускать (ограничиваясь только одним условием дифференцируемости) из психолого-педагогических соображений, как мне кажется. С упоминанием непрерывности оно более естественно звучит, а то может быть разрыв шаблона (или, как называют его психологи, гештальта).