Производная обратной функции

[Rusit8800]

В учебнике Зорича дается следующая теорема
Теорема 3 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции $\[f:X \to Y\]$ , $\[{f^{ - 1}}:Y \to X\]$ взаимно обратны и непрерывны в точках $\[{x_0} \in X\]$ и $\[{y_0} = f({x_0}) \in Y\]$ соответственно. Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$ , $\[f'({x_0}) \ne 0\]$ то функция $f^{ - 1}$ дифференцируема в точке $y_0$, причем

$$\[({f^{ - 1}})'({y_0}) = {\left( {f'({x_0})} \right)^{ - 1}}\]$$

Мне кажется, что данном случае требование непрерывности $\[f:X \to Y\]$ в $\[{x_0} \in X\]$ излишне. Прошу форумчан проверить, не ошибся ли я где-нибудь.

Доказательство заключается в том, что мы строим функцию $\[h:X \setminus \left\{ {{x_0}} \right\} \to \mathbb{R}\]$ заданную правилом

$$\[h(x) = \frac{{x - {f^{ - 1}}({y_0})}}{{f(x) - {y_0}}}\[ = \frac{{x - {x_0}}}{{f(x) - f({x_0})}}\]\]$$

, показываем, что

$$\[\mathop {\lim }\limits_{x \in X,x \to {x_0}} h(x) = \frac{1}{{f'({x_0})}}\]$$

. Далее строим $\[t:Y \setminus \left\{ {{y_0}} \right\} \to X \setminus \left\{ {{x_0}} \right\},t(y) = {f^{ - 1}}(y)\]$, рассматриваем композицию

$$\[(h \circ t)(y) = \frac{{{f^{ - 1}}(y) - {f^{ - 1}}({y_0})}}{{y - {y_0}}}\]$$

.
Для доказательства теоремы нужно показать, что

$$\[\mathop {\lim }\limits_{y \in X,y \to {y_0}} (h \circ t)(y) = \mathop {\lim }\limits_{x \in X,x \to {x_0}} h(x) = \frac{1}{{f'({x_0})}}\]$$

. Это делается с помощью теоремы о пределе композиции функций. Условие применимости этой теоремы:

$$\[\forall {\mathop U\limits^ \circ _X}({x_0})\exists {\mathop U\limits^ \circ _Y}({y_0})\left( {t({{\mathop U\limits^ \circ }_Y}({y_0})) \subset {{\mathop U\limits^ \circ }_X}({x_0})} \right) \Leftrightarrow \forall {\mathop U\limits^ \circ _X}({x_0})\exists {\mathop U\limits^ \circ _Y}({y_0})\left( {{f^{ - 1}}({{\mathop U\limits^ \circ }_Y}({y_0})) \subset {{\mathop U\limits^ \circ }_X}({x_0})} \right)\]$$

. Запись непрерывности $\[{f^{ - 1}}\]$ в $y_0$ имеет вид($\[{x_0} = {f^{ - 1}}({y_0})\]$)

$$\[\forall \mathop U\limits^{} ({x_0})\exists \mathop {U_Y^{}}\limits^{} ({y_0})\left( {{f^{ - 1}}(\mathop {U_Y^{}}\limits^{} ({y_0})) \subset \mathop U\limits^{} ({x_0})} \right)\]$$

. Если каждое $\[{\mathop U\limits^{} ({x_0})}\]$ пересечь множеством $X$, то утверждение останется верным, поскольку ${f^{ - 1}$ действует из $Y$ в $X$. Получится окрестность $\[{{{\mathop U\limits^{} }_X}({x_0})}\]$ во множестве $X$. Выколем из каждой такой окрестности точку $x_0$. В силу биективности каждая окрестность $\[{\mathop {U_Y^{}}\limits^{} ({y_0})}\]$ для которой $\[{{f^{ - 1}}(\mathop {U_Y^{}}\limits^{} ({y_0})) \subset {{\mathop U\limits^ \circ }_X}({x_0})}\]$ не может содержать $y_0$, поэтому можно писать $\[\mathop {U_Y^{}}\limits^ \circ ({y_0})\]$ вместо $\[{{{\mathop U\limits^{} }_Y}({x_0})}\]$. Но тогда получим логическое утверждение, эквивалентное условию применимости теоремы о пределе композиции. В данном доказательстве использована лишь непрерывность $f^{-1}$ в $y_0$.

[mihaild]

Я чего-то не понимаю, или дифференцируемость $f$ в $x_0$ дана, и из этого сразу следует непрерывность?

[Rusit8800]

mihaild в сообщении #1433727 писал(а):

Я чего-то не понимаю, или дифференцируемость $f$ в $x_0$ дана, и из этого сразу следует непрерывность?

Кажется понял в чем дело.
В Зориче сначала дается непрерывность $f$ в $x_0$ и $f^{-1}$ в $y_0$. Потом дополнительно говорится, что $f$ дифференцируема в $x_0$. Но смысл в том, что в доказательстве используется только дифференцируемость $f$ в $x_0$ и непрерывность $f^{-1}$ в $y_0$, а сам факт непрерывности $f$ в $x_0$, следующий из дифференцируемости, не используется. Вывод в том, что, во-первых, требование непрерывности $f$ в $x_0$ с учетом дифференцируемости излишне, и, во- вторых, даже сам факт непрерывности $f$ в $x_0$ бесполезен в доказательстве, так как важно более сильное требование дифференцируемости.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Вот чем отличается способный студент от прилежного? Прилежный видит, что требование непрерывности в данном случае излишне. И задает справедливый вопрос. А способный студент понимает, что данное замечание несущественно, и не задает вопросов.